Question

Даю 100 баллов!!! Используя разделение переменных, решите диффернциальное уравнениеИспользуйте С для представления произвольной константы. ​

Answer 1

$y^{2} = 2x - 2\sqrt{6} arctan (\frac{\sqrt{6x} }{6} ) + C , C$ ∈ R

Answer 2

Конечно, я готов помочь! Для того чтобы решить дифференциальное уравнение с использованием разделения переменных, давайте рассмотрим общий вид уравнения:

\[ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \]

где \( f(x) \) и \( g(y) \) - функции от переменных \( x \) и \( y \) соответственно.

Процесс решения:

1. Разделение переменных: \[ \frac{1}{g(y)} \, dy = f(x) \, dx \]

2. Интегрирование с обеих сторон: \[ \int \frac{1}{g(y)} \, dy = \int f(x) \, dx + C \]

где \( C \) - константа интеграции.

3. Решение уравнения относительно \( y \): Полученное уравнение будет содержать \( y \) и произвольную константу \( C \).

Чтобы продемонстрировать этот процесс на конкретном уравнении, давайте рассмотрим пример:

\[ \frac{dy}{dx} = x \cdot y \]

1. Разделение переменных: \[ \frac{1}{y} \, dy = x \, dx \]

2. Интегрирование: \[ \int \frac{1}{y} \, dy = \int x \, dx + C \]

Интегрируя, мы получаем: \[ \ln|y| = \frac{1}{2}x^2 + C \]

3. Решение относительно \( y \): Используя свойство логарифма, можно записать: \[ |y| = e^{\frac{1}{2}x^2 + C} \]

Теперь можно выразить \( y \) относительно \( x \) с учетом знака: \[ y = \pm e^C e^{\frac{1}{2}x^2} \]

где \( e^C \) - произвольная константа, которую мы можем обозначить как новую константу \( C_1 \).

Таким образом, решение дифференциального уравнения \( \frac{dy}{dx} = x \cdot y \) с использованием разделения переменных: \[ y = C_1 e^{\frac{1}{2}x^2} \]

Надеюсь, это объяснение было полезным! Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы или уточнения, не стесняйтесь задавать.