Question

5. Решить уравнение 3sin2+sincos−2cos2=0 6. Решить уравнение 5sin4+12cos4=13

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решение дано на фото.

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение поочередно.

Уравнение 1: \(3\sin^2x\sin x - 2\cos^2x\sin x = 0\)

Давайте преобразим уравнение:

\[3\sin^2x\sin x - 2\cos^2x\sin x = 0\]

Факторизуем \(\sin x\):

\[\sin x (3\sin^2x - 2\cos^2x) = 0\]

Теперь у нас два множителя, и мы можем решить уравнение для каждого из них:

1. \(\sin x = 0\): Это уравнение имеет решение при \(x = 0 + k\pi\), где \(k\) - целое число.

2. \(3\sin^2x - 2\cos^2x = 0\): Мы можем использовать тригонометрическую тождества для замены \(\cos^2x\) через \(\sin^2x\):

\[3\sin^2x - 2(1 - \sin^2x) = 0\]

Решим это уравнение:

\[3\sin^2x - 2 + 4\sin^2x = 0\]

\[7\sin^2x = 2\]

\[\sin^2x = \frac{2}{7}\]

\[\sin x = \pm\sqrt{\frac{2}{7}}\]

Таким образом, у нас есть два набора решений:

- \(x = 0 + k\pi\), где \(k\) - целое число. - \(x = \arcsin(\sqrt{\frac{2}{7}}) + 2k\pi\) и \(x = \arcsin(-\sqrt{\frac{2}{7}}) + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.

Уравнение 2: \(5\sin^4x + 12\cos^4x = 13\)

Это уравнение включает как синус, так и косинус в четвертых степенях. Давайте заменим \(\cos^4x\) через \((1 - \sin^2x)^2\):

\[5\sin^4x + 12(1 - \sin^2x)^2 = 13\]

Упростим уравнение:

\[5\sin^4x + 12(1 - 2\sin^2x + \sin^4x) = 13\]

Раскроем скобки:

\[5\sin^4x + 12 - 24\sin^2x + 12\sin^4x = 13\]

Сгруппируем подобные члены:

\[17\sin^4x - 24\sin^2x - 1 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin^2x\). Проведем замену \(t = \sin^2x\):

\[17t^2 - 24t - 1 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. По формуле для квадратных уравнений:

\[t = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 + 4(17)(1)}}{2(17)}\]

\[t = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 68}}{34}\]

\[t = \frac{24 \pm \sqrt{644}}{34}\]

\[t = \frac{24 \pm 2\sqrt{161}}{34}\]

\[t = \frac{12 \pm \sqrt{161}}{17}\]

Таким образом, у нас есть два значения \(t\). Теперь, зная, что \(t = \sin^2x\), мы можем найти значения \(\sin x\). Однако, обратите внимание, что значения \(\sin x\) могут быть как положительными, так и отрицательными. Так что у нас будет четыре набора решений:

1. \(\sin x = \sqrt{\frac{12 + \sqrt{161}}{17}}\) и \(\sin x = -\sqrt{\frac{12 + \sqrt{161}}{17}}\) 2. \(\sin x = \sqrt{\frac{12 - \sqrt{161}}{17}}\) и \(\sin x = -\sqrt{\frac{12 - \sqrt{161}}{17}}\)

Теперь, чтобы найти значения \(x\), используем обратные тригонометрические функции:

1. \(x = \arcsin\left(\sqrt{\frac{12 + \sqrt{161}}{17}}\right) + 2k\pi\) и \(x = \arcsin\left(-\sqrt{\frac{12 + \sqrt{161}}{17}}\right) + 2k\pi\), где \(k\) - целое число. 2. \(x = \arcsin\left(\sqrt{\frac{12 - \sqrt{161}}{17}}\right) + 2k\pi\) и \(x = \arcsin\left(-\sqrt{\frac{12 - \sqrt{161}}{17}}\right) + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.

Это и есть полные решения заданных уравнений.