Question

Геометрія 8 клас. 192. Доведіть, що середини сторін рівнобедреної трапеції є вершинами ромба.

Answer 1

Для доведення того, что середины сторон рівнобедреної трапеції є вершинами ромба, нам необходимо вспомнить следующие свойства ромба:

1. Все стороны ромба равны между собой. 2. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.

Возьмем рівнобедрену трапецію ABCD, где AB || CD та AB = CD. Пусть E, F, G і H - середини сторін AB, BC, CD, DA відповідно.

Для доказу потрібно показати, що: 1. ∆EFG - рівносторонній трикутник. 2. EF ⊥ GH, FG ⊥ GH.

Доказ:

1. Для доведення, що ∆EFG є рівностороннім трикутником, ми маємо показати, що всі його сторони рівні.

За властивістю середньої лінії в трикутнику, отримуємо, що 2EF = AB і 2FG = BC, оскільки E і F - середини сторін AB і BC відповідно.

Ми знаємо, що AB = CD, оскільки ABCD - рівнобедрена трапеція, тому AB = CD = EF + FG.

Отже, 2EF + 2FG = 2EF + AB = AB + AB = 2AB, що означає, що 2EF + 2FG = 2AB.

З цього випливає, що EF + FG = AB, але ми також знаємо, що EF + FG = CD.

Отже, ми отримуємо AB = CD, що означає, що всі сторони ∆EFG рівні, а отже, ∆EFG є рівностороннім трикутником.

2. Для доведення, що EF ⊥ GH і FG ⊥ GH, ми маємо показати, що EF і FG перпендикулярні до GH, і що цітристь GH проходить через середину гіпотенузи EF.

За властивістю середньої лінії в трикутнику, отримуємо, що GH || AB і GH = 1/2 * AB, оскільки H - середина DA.

Ми також знаємо, що GH || CD і GH = 1/2 * CD, оскільки G - середина DC.

Отже, ми маємо, що GH || AB || CD і GH проходить через середини EF і FG, тому GH і EF перпендикулярні, і GH і FG перпендикулярні.

Таким чином, ми довели, що середини сторін рівнобедреної трапеції ABCD є вершинами ромба ∆EFGH, оскільки ∆EFGH є рівностороннім трикутником з перпендикулярними діагоналями EF і FG.