Question

дано трикутник АВС зі сторонами ВС =а, АС=в, АВ=с. Провели бісектриси зовнішніх кутів при вершинах А та С і з вершини В на них опустили препендикуляри BM BN. Знайти довжину відрізка MN

Answer 1

Ответ:

1/2 (a+b+c)

Пошаговое объяснение:

Трикутники ΔAMD i ΔAMB -   прямокутні,  вони мають спільний катет та рівні кути, ⇒ вони рівні.

⇒DM=MB, AD= AB.  

Аналогічно: BN=NK, BC=CK .

⇒ MN -   середня лінія ΔBDK .

MN= 1/2 * DK = 1/2 * (DA+AC+CK) = 1/2 * (AB+AC+BC) = 1/2 (a+b+c)

Answer 2

Давай розглянемо трикутник ABC. Для початку, використаємо теорему косинусів для знаходження кута між сторонами AC та BC. Зазначимо цей кут як \( \angle ACB \).

\[ \cos(\angle ACB) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]

Тепер, знаючи величину кута \( \angle ACB \), можна визначити довжини відрізків BM та BN, так як це відомі бісектриси.

\[ BM = \frac{AC}{AC + BC} \cdot a \] \[ BN = \frac{AC}{AC + BC} \cdot c \]

Тепер, якщо ми знаємо довжини BM та BN, можемо використати їх для знаходження довжини відрізка MN. Застосуємо теорему Піфагора до прямокутного трикутника BMN:

\[ MN = \sqrt{BM^2 + BN^2} \]

Вставимо значення BM та BN, які ми вже знайшли, і отримаємо довжину відрізка MN.