Question

Докажите, что любую ненулевой диагональную матрицу, имеющую размер (2х2) или (3х3) можно представить в виде суммы двух матриц, определитель каждой из которых равен 1.

Answer 1

Для доказательства утверждения, что любую ненулевую диагональную матрицу размера \(2 \times 2\) или \(3 \times 3\) можно представить в виде суммы двух матриц, определитель каждой из которых равен 1, рассмотрим следующие матрицы:

1. Для размера \(2 \times 2\): Пусть у нас есть диагональная матрица \[ A = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}. \] Мы можем представить её в виде суммы двух матриц: \[ A = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}. \] Очевидно, что определитель каждой из этих матриц равен 1, так как у нас на диагонали стоят единицы.

2. Для размера \(3 \times 3\): Пусть у нас есть диагональная матрица \[ B = \begin{bmatrix} c & 0 & 0 \\ 0 & d & 0 \\ 0 & 0 & e \end{bmatrix}. \] Мы можем представить её в виде суммы трех матриц: \[ B = \begin{bmatrix} c & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & d & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & e \end{bmatrix}. \] Снова определитель каждой из этих матриц равен 1, так как на их диагоналях стоят единицы.

Таким образом, мы доказали, что любую ненулевую диагональную матрицу размера \(2 \times 2\) или \(3 \times 3\) можно представить в виде суммы двух матриц, определитель каждой из которых равен 1.