Question

Найдите P(x)/Q(x) (деление с остатком) если P(x)=x^5-6x^3+2x^2-4; Q(x)=x^2-x+1

Answer 1

Для деления многочленов P(x) на Q(x) с остатком нужно использовать деление синтетическим методом или деление в столбик. Я воспользуюсь делением в столбик для решения задачи.

Итак, у нас есть:

\[P(x) = x^5 - 6x^3 + 2x^2 - 4\]

\[Q(x) = x^2 - x + 1\]

Чтобы разделить P(x) на Q(x), давайте сначала определим, сколько раз Q(x) содержится в P(x) по степени. В данном случае, Q(x) содержится \(x^3\) раз в \(x^5\). Помним, что результат деления многочленов будет иметь степень на 2 меньше степени делимого. Так что результат будет иметь вид:

\[R(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D\]

Теперь, умножим Q(x) на полученный многочлен и вычтем результат из P(x), чтобы получить остаток. Процедура будет выглядеть так:

\[P(x) - Q(x) \cdot R(x) = 0\]

Составим уравнение и решим его:

\[x^5 - 6x^3 + 2x^2 - 4 - (x^2 - x + 1)(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) = 0\]

Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x к нулю:

\[x^5 - 6x^3 + 2x^2 - 4 - (Ax^5 + Bx^4 + Cx^3 + Dx^2 - Ax^3 - Bx^2 - Cx - D) = 0\]

Упростим и сгруппируем коэффициенты:

\[x^5 - 6x^3 + 2x^2 - 4 - (Ax^5 - Bx^4 + (C-A)x^3 + (D+B)x^2 - Cx - D) = 0\]

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x к нулю:

\[\begin{align*} 1 - A &= 0 \quad \text{(коэффициент при } x^5) \\ 0 + B &= 0 \quad \text{(коэффициент при } x^4) \\ -6 - (C-A) &= 0 \quad \text{(коэффициент при } x^3) \\ 2 + (D+B) &= 0 \quad \text{(коэффициент при } x^2) \\ 0 - C &= 0 \quad \text{(коэффициент при } x) \\ -4 - D &= 0 \quad \text{(свободный член)} \end{align*}\]

Решив эти уравнения, мы найдем значения для A, B, C, и D.

После нахождения коэффициентов A, B, C, D, мы можем записать ответ:

\[P(x) = Q(x) \cdot R(x) + (остаток)\]

где \(R(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D\).

Надеюсь, это поможет! Если у вас есть дополнительные вопросы или если что-то не ясно, пожалуйста, дайте мне знать.