Question

Знайдіть площу діагонального перерізу правильної чотирикутної піраміди, якщо її діагональним перерізом є прямокутний трикутник зі зіпотенузою2коріни 2см

Answer 1

Для знаходження площі діагонального перерізу правильної чотирикутної піраміди з діагональним перерізом у формі прямокутного трикутника, давайте розглянемо кожну частину задачі.

Опишемо прямокутний трикутник з діагональним перерізом:

1. Довжина одного катета трикутника: \(a = 2\sqrt{2} \, \text{см}\). 2. Довжина другого катета трикутника: \(b = 2\sqrt{2} \, \text{см}\). 3. Гіпотенуза трикутника: \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4 \, \text{см}\).

Тепер розглянемо правильну чотирикутну піраміду. Діагональний переріз у формі прямокутного трикутника розділить його на чотири трикутника: три трикутники, які є бічними гранями піраміди, і один трикутник, який є частиною діагонального перерізу.

Площа бічної грані піраміди (трикутника) може бути знайдена за формулою:

\[S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основа} \cdot \text{висота}.\]

В нашому випадку величина основи дорівнює стороні основи піраміди, яка може бути розрахована за півпериметром:

\[P = 4a, \quad \text{де} \quad a = 2\sqrt{2} \, \text{см}.\]

Отже, \(P = 4 \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \, \text{см}\).

Півпериметр \(s\) дорівнює:

\[s = \frac{P}{2} = 4\sqrt{2} \, \text{см}.\]

Тепер використаємо формулу для площі трикутника:

\[S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot s \cdot h,\]

де \(h\) - висота трикутника від вершини до основи. Висоту можна знайти за теоремою Піфагора:

\[h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{16 - 2} = \sqrt{14} \, \text{см}.\]

Тепер можемо знайти площу трикутника:

\[S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{14} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{14} \, \text{см}^2.\]

Оскільки є три такі трикутники, площа бічної грані піраміди дорівнює \(3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{14} \, \text{см}^2\).

Тепер додамо площу трикутника, який є частиною діагонального перерізу. Його площа вже була знайдена:

\[S_{\text{діаг}} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{14} \, \text{см}^2.\]

Остаточно, площа діагонального перерізу піраміди дорівнює:

\[S_{\text{піраміда}} = 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{14} + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{14} = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{14} + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{14} = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{14} \, \text{см}^2.\]

Це і є відповідь.