Question

Мега срочно. Даю 50 балов.Знайти загальний роз’язок диференціального рівняння y'=2^(x-y)

Answer 1

Ответ:

$y '= {2}^{x - y} \\ \frac{dy}{dx} = {2}^{x} \times {2}^{ - y} \\ \int\limits \frac{dy}{ {2}^{ - y} } = \int\limits {2}^{x} dx \\ \int\limits {2}^{y} dy = \int\limits{2}^{x} dx \\ \frac{ {2}^{y} }{ ln(2) } = \frac{ {2}^{x} }{ ln(2) } + C \\ {2}^{y} = {2}^{x} + C ln(2) \\ {2}^{y} = {2}^{x} + C$

общее решение

Answer 2

Диференціальне рівняння, яке ми маємо в даному випадку, це:

y' = 2^(x-y)

Щоб знайти загальний роз'язок цього рівняння, ми можемо використати метод розділення змінних. Для цього ми розділимо dy на одній стороні рівняння, а dx на іншій:

dy = 2^(x-y) dx

Тепер ми можемо перемножити обидві сторони на dx, щоб отримати рішення:

dy/dx = 2^(x-y)

Для спрощення рівняння, ми можемо використати основні властивості степеневих функцій та записати 2^(x-y) як (2^x)/(2^y), отримуючи:

dy/dx = (2^x)/(2^y)

Тепер ми можемо перемножити обидві сторони на 2^y, щоб отримати:

2^y dy = 2^x dx

Тепер можемо інтегрувати обидві сторони рівняння. Інтеграл від 2^y дорівнює (2^y) / ln(2), а інтеграл від 2^x дорівнює (2^x) / ln(2). Отримуємо:

(2^y) / ln(2) = (2^x) / ln(2) + C

де C - довільна постійна.

Тепер ми можемо помножити обидві сторони на ln(2), щоб отримати:

2^y = 2^x + C ln(2)

Іншим варіантом для запису цього рівняння може бути y = log_2(2^x + C ln(2))

Ця формула представляє собою загальний роз'язок диференціального рівняння y' = 2^(x-y), де C - довільна постійна.