Question

Трикутник задано вершинами А(9;5), В(10;5), С(5;3). 1) скласти рівняння сторони ВС; 2) скласти рівняння медіани ВК; 3) визначити ∠КВС.​

Answer 1

Для решения данной задачи построим треугольник по заданным координатам вершин А(9;5), В(10;5), С(5;3).

1) Решение задачи на нахождение уравнения стороны ВС:

Для этого нужно найти длину стороны ВС. Используем формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек.

В данном случае координаты вершин B и C равны B(10;5) и C(5;3). Подставим значения в формулу:

\[ d_{BC} = \sqrt{(5 - 10)^2 + (3 - 5)^2} \]

Выполняем вычисления:

\[ d_{BC} = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2} \] \[ d_{BC} = \sqrt{25 + 4} \] \[ d_{BC} = \sqrt{29} \]

Таким образом, длина стороны ВС равна √29.

2) Решение задачи на нахождение уравнения медианы ВК:

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, медиана ВК будет соединять вершину В с серединой стороны КС.

Для нахождения середины стороны КС, найдем среднее арифметическое координат точек К(9.5; 4) и С(5; 3):

\[ M_{КС} = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]

\[ M_{КС} = \left(\frac{9.5 + 5}{2}, \frac{4 + 3}{2}\right) \]

Выполняем вычисления:

\[ M_{КС} = \left(\frac{14.5}{2}, \frac{7}{2}\right) \]

\[ M_{КС} = (7.25, 3.5) \]

Таким образом, координаты середины стороны КС равны (7.25, 3.5).

Теперь, используя найденные координаты, можно составить уравнение медианы ВК. Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:

\[ \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек, а (x, y) - координаты точки, через которую проходит прямая.

Подставим значения в уравнение:

\[ \frac{y - 5}{x - 10} = \frac{3.5 - 5}{7.25 - 10} \]

Выполняем вычисления:

\[ \frac{y - 5}{x - 10} = \frac{-1.5}{-2.75} \]

\[ \frac{y - 5}{x - 10} = \frac{6}{11} \]

Таким образом, уравнение медианы ВК имеет вид:

\[ \frac{y - 5}{x - 10} = \frac{6}{11} \]

3) Решение задачи на нахождение угла КВС:

Для нахождения угла между стороной ВК и ВС воспользуемся теоремой косинусов:

\[ \cos(\angle КВС) = \frac{BC^2 + CK^2 - BK^2}{2 \cdot BC \cdot CK} \]

Где BC, CK и BK - длины сторон треугольника. Мы уже знаем, что длина стороны BC равна √29. Для нахождения длин сторон CK и BK, воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:

\[ CK = \sqrt{(x_C - x_K)^2 + (y_C - y_K)^2} \] \[ BK = \sqrt{(x_B - x_K)^2 + (y_B - y_K)^2} \]

Подставим значения координат вершин и найденную середину стороны КС:

\[ CK = \sqrt{(5 - 7.25)^2 + (3 - 3.5)^2} \] \[ BK = \sqrt{(10 - 7.25)^2 + (5 - 3.5)^2} \]

Выполняем вычисления:

\[ CK = \sqrt{(-2.25)^2 + (-0.5)^2} \] \[ BK = \sqrt{(2.75)^2 + (1.5)^2} \]

\[ CK = \sqrt{5.0625 + 0.25} \] \[ BK = \sqrt{7.5625 + 2.25} \]

\[ CK = \sqrt{5.3125} \] \[ BK = \sqrt{9.8125} \]

\[ CK \approx 2.307 \] \[ BK \approx 3.131 \]

Теперь, подставим найденные значения в формулу косинусов:

\[ \cos(\angle КВС) = \frac{(\sqrt{29})^2 + (2.307)^2 - (3.131)^2}{2 \cdot \sqrt{29} \cdot 2.307} \]

Выполняем вычисления:

\[ \cos(\angle КВС) = \frac{29 + 5.315 + 9.791}{2 \cdot \sqrt{29} \cdot 2.307} \] \[ \cos(\angle КВС) = \frac{44.106}{2 \cdot \sqrt{29} \cdot 2.307} \] \[ \cos(\angle КВС) \approx 0.999 \]

Для нахождения угла между стороной ВК и ВС используем обратную функцию косинуса:

\[ \angle КВС = \cos^{-1}(0.999) \]

Выполняем вычисления:

\[ \angle КВС \approx 0.046^{\circ} \]

Таким образом, угол КВС примерно равен 0.046 градусов.