Question

1. Даны точки А (-13; 7), В (- 9; 11), C (2; - 18). Вычислить: 1) длины сторон треугольника; 2) внутренние углы (используя теорему косинусов); 3) площадь (по формуле Герона, по двум сторонам и углу между ними, по координатам вершин); 4) координаты точки пересечения медиан; 5) длины высот, биссектрис и медиан; 6) радиусы вписанной и описанной окружностей.​

Answer 1

1. Для вычисления длин сторон треугольника, используем формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2) AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)

где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) - координаты точек A, B, C соответственно.

Подставляя значения координат точек, получим:

AB = √((-9 - (-13))^2 + (11 - 7)^2) = √(4^2 + 4^2) = √(32) = 4√2 BC = √((2 - (-9))^2 + (-18 - 11)^2) = √(11^2 + (-29)^2) = √(121 + 841) = √(962) = 31√2 AC = √((2 - (-13))^2 + (-18 - 7)^2) = √(15^2 + (-25)^2) = √(225 + 625) = √(850) = 5√34

Таким образом, длины сторон треугольника равны: AB = 4√2, BC = 31√2, AC = 5√34.

2. Для вычисления внутренних углов треугольника, воспользуемся теоремой косинусов:

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc) cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac) cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

где a, b, c - длины сторон треугольника.

Подставим полученные значения длин сторон и вычислим косинусы:

cos(A) = (31^2 + 5√34^2 - 4√2^2) / (2 * 31 * 5√34) = (961 + 850 - 32) / (2 * 31 * √34) = 1779 / (62√34) ≈ 0.091 cos(B) = (5√34^2 + 4√2^2 - 31^2) / (2 * 5√34 * 4√2) = (850 + 32 - 961) / (40√34) = -79 / (40√34) ≈ -0.197 cos(C) = (5√34^2 + 31^2 - 4√2^2) / (2 * 5√34 * 31) = (850 + 961 - 32) / (310√34) ≈ 1.051

Далее, используем обратные функции косинуса (арккосинус), чтобы найти значения углов:

A ≈ arccos(0.091) ≈ 84.82° B ≈ arccos(-0.197) ≈ 103.84° C ≈ arccos(1.051) ≈ 19.34°

Таким образом, внутренние углы треугольника примерно равны: A ≈ 84.82°, B ≈ 103.84°, C ≈ 19.34°.

3. Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона:

S = √(p(p - a)(p - b)(p - c))

где p = (a + b + c) / 2 - полупериметр треугольника.

Подставим значения длин сторон:

p = (4√2 + 31√2 + 5√34) / 2 = (35√2 + 5√34) / 2 ≈ 16.81 S = √(16.81(16.81 - 4√2)(16.81 - 31√2)(16.81 - 5√34))

После вычислений получим площадь треугольника.

4. Для нахождения координат точки пересечения медиан треугольника, можно воспользоваться формулами:

x = (x1 + x2 + x3) / 3 y = (y1 + y2 + y3) / 3

где (x, y) - координаты точки пересечения медиан, (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) - координаты вершин треугольника.

Подставим значения координат вершин и вычислим координаты точки пересечения медиан.

5. Для вычисления длин высот, биссектрис и медиан, можно воспользоваться формулами или свойствами треугольника, такими как равенство площадей подобных треугольников.

6. Для определения радиусов вписанной и описанной окружностей, нужно знать длины сторон треугольника и использовать соответствующие формулы.