Question

Доведіть, що коли бісектриси двох протилежних кутів опуклого чотирикутника паралельні або лежать на одній прямій, то два інших кути чотирикутника рівні.

Answer 1

Ответ:

Для доведення цього твердження, розглянемо опуклий чотирикутник ABCD та його протилежні кути: кут A та кут C. Нехай бісектриси цих кутів паралельні або лежать на одній прямій.

Спочатку розглянемо випадок, коли бісектриси кутів A та C паралельні. Нехай BI і DI - це бісектриси кутів A та C відповідно.

Оскільки BI і DI є бісектрисами, то вони ділять кожен з кутів A і C пополам, утворюючи два рівні кути: ∠BIA і ∠DIC.

Тепер розглянемо випадок, коли бісектриси кутів A та C лежать на одній прямій. Нехай BI і DI - це бісектриси кутів A та C відповідно, і вони перетинаються в точці E.

Оскільки бісектриси лежать на одній прямій, то ∠BIE і ∠EIC є суміжніми кутами, і їх сума дорівнює 180 градусів.

Але ∠BIE і ∠DIE також є суміжніми кутами, оскільки точка I є точкою перетину бісектрис кутів A і C.

Отже, ми отримали, що ∠BIE + ∠EIC = ∠BIE + ∠DIE = 180 градусів.

Звідси випливає, що ∠EIC = ∠DIE, тобто кути ∠AED і ∠CED є рівними.

Таким чином, ми довели, що коли бісектриси двох протилежних кутів опуклого чотирикутника паралельні або лежать на одній прямій, то два інших кути чотирикутника рівні.

Answer 2

Розглянемо опуклий чотирикутник ABCD, у якому протилежні кути A і C. Нехай AD і BC - бісектриси цих кутів. Ми хочемо довести, що якщо бісектриси AD і BC паралельні або лежать на одній прямій, то кути B і D рівні.

За теоремою про бісектрису кута, ми знаємо, що бісектриса кута розділяє його на два рівні кути. Отже, ми маємо:

1. ∠CAD = ∠DAB (за визначенням бісектриси у куті A). 2. ∠BCA = ∠CAB (за визначенням бісектриси у куті C).

Оскільки бісектриси AD і BC паралельні або лежать на одній прямій, ми можемо використовувати властивості паралельних ліній та внутрішніх кутів. Зокрема, ми можемо вважати, що:

3. ∠DAB + ∠CAB = 180° (за властивостями прямих кутів та паралельних ліній).

Зі співвідношень (1) і (2) ми можемо скласти:

4. ∠CAD + ∠BCA = ∠DAB + ∠CAB.

Тепер, використовуючи співвідношення (3), ми отримуємо:

5. ∠CAD + ∠BCA = 180°.

Ми знаємо, що сума всіх кутів у чотирикутнику дорівнює 360°. Таким чином, ми можемо написати:

6. ∠CAD + ∠BCA + ∠CAB + ∠DAB = 360°.

Замінимо суму кутів ∠CAD і ∠BCA за виразом з (5):

7. 180° + ∠CAB + ∠DAB = 360°.

Виразимо ∠CAB + ∠DAB як дві рівні кути B і D:

8. 180° + ∠B + ∠D = 360°.

Віднявши 180° від обох боків, отримаємо:

9. ∠B + ∠D = 180°.

Отже, ми довели, що кути B і D сумуються до 180°, тобто вони рівні. Таким чином, якщо бісектриси AD і BC паралельні або лежать на одній прямій, то кути B і D чотирикутника ABCD рівні.