Question

6. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см. Из вершины прямого угла в плоскости треугольника восстановлен перпендикуляр длиной 5 см. Найдите расстояние от вершины перпендикуляра до гипотенузы. (10 баллов)​

Answer 1

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников. Пусть \(a\) и \(b\) - катеты, \(c\) - гипотенуза.

Из условия задачи у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами \(a = 15\) см и \(b = 20\) см. Мы также знаем, что из вершины прямого угла проведен перпендикуляр длиной \(h = 5\) см.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2.\]

Подставим известные значения:

\[c^2 = 15^2 + 20^2.\]

Выполним вычисления:

\[c^2 = 225 + 400 = 625.\]

Теперь найдем гипотенузу:

\[c = \sqrt{625} = 25.\]

Таким образом, гипотенуза этого треугольника равна 25 см.

Теперь нам нужно найти расстояние от вершины перпендикуляра до гипотенузы. Для этого воспользуемся подобием треугольников.

Обозначим расстояние от вершины перпендикуляра до гипотенузы буквой \(d\). Тогда мы можем записать следующее отношение подобия треугольников:

\[\frac{d}{h} = \frac{a}{c}.\]

Подставим известные значения:

\[\frac{d}{5} = \frac{15}{25}.\]

Решим уравнение для \(d\):

\[d = 5 \cdot \frac{15}{25} = 3.\]

Таким образом, расстояние от вершины перпендикуляра до гипотенузы равно 3 см.