Question

Схематично побудуйте графік функції y = x^-n , де n - Heпaрне натурал число, зазначте її основні властивості ​

Answer 1

Функція \(y = x^{-n}\), де \(n\) - парне натуральне число, описує зворотній ступінь \(x\) з від'ємним експонентом. Щоб побудувати графік цієї функції, розглянемо кілька важливих властивостей та врахуємо особливості при різних значеннях \(n\).

1. Властивості функції \(y = x^{-n}\):

a. Домініюча область:

- Функція визначена для всіх дійсних чисел \(x\), крім \(x = 0\), оскільки не можна підняти 0 до від'ємного експоненту.

b. Парність/Непарність:

- Функція є парною, оскільки \(y(-x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n} = y(x)\).

c. Зростання/Зменшення:

- Зростає для \(0 < x < 1\). - Зменшується для \(x > 1\).

d. Асимптота:

- Існує вертикальна асимптота у точці \(x = 0\) через відсутність значення для \(x = 0\). - Немає горизонтальної асимптоти, оскільки функція може досягти нуля при \(x \to \infty\), але не має фіксованого граничного значення.

2. Графік:

- При \(n = 2\): - Графік схожий на гіперболу, але обмежений осі Y при \(x > 1\). - Вершина графіка у точці (1, 1).

- При \(n = 4\): - Графік буде подібний, але швидше зменшуватиметься поблизу осі X і повільніше збільшуватиметься від неї.

Таким чином, графік функції \(y = x^{-n}\), де \(n\) - парне натуральне число, виглядає як гіпербола, що збігається з осі Y при \(x > 1\) і має вертикальну асимптоту в \(x = 0\).