Question

A(5;3;6), B(-3;-4;-5), C(7;-6;8), D(4;0;-9) Вершинами пирамиды являются A(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2), C(x3:y3;z3) и D(x4:y4:z4). Вычислите: а) АВ; б) ВС•ВD б) Ѕ/_авс; в) VABCD

Answer 1

Давайте решим каждый пункт задачи:

а) Вычислите вектор AB:

Вектор AB = B - A AB = (-3 - 5, -4 - 3, -5 - 6) = (-8, -7, -11)

б) Вычислите вектор ВС и вектор ВD:

Вектор BC = C - B BC = (7 - (-3), (-6) - (-4), 8 - (-5)) = (10, -2, 13)

Вектор BD = D - B BD = (4 - (-3), 0 - (-4), (-9) - (-5)) = (7, 4, -4)

б) Вычислите скалярное произведение векторов ВС и ВD:

BC • BD = (10 * 7) + (-2 * 4) + (13 * (-4)) = 70 - 8 - 52 = 10

в) Вычислите угол между векторами BC и BD:

\[ \cos(\theta) = \frac{{BC \cdot BD}}{{\|BC\| \cdot \|BD\|}} \]

\[ \|BC\| = \sqrt{10^2 + (-2)^2 + 13^2} = \sqrt{100 + 4 + 169} = \sqrt{273} \]

\[ \|BD\| = \sqrt{7^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} \]

Теперь подставим значения:

\[ \cos(\theta) = \frac{10}{{\sqrt{273} \cdot \sqrt{81}}} \]

\[ \theta = \arccos\left(\frac{10}{{\sqrt{273} \cdot \sqrt{81}}}\right) \]

Это значение угла в радианах, и для перевода в градусы умножим его на \(\frac{180}{\pi}\).

в) Вычислите объем пирамиды VABCD:

Объем пирамиды можно вычислить по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h_D \]

где \(S_{ABC}\) - площадь треугольника ABC, а \(h_D\) - расстояние от вершины D до плоскости ABC.

Для вычисления \(S_{ABC}\) используем векторное произведение векторов AB и AC:

\[ \vec{S_{ABC}} = \vec{AB} \times \vec{AC} \]

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \| \vec{S_{ABC}} \| \]

\[ \| \vec{S_{ABC}} \| = \sqrt{((-8) \cdot (-2) - (-7) \cdot 10)^2 + ((-11) \cdot 10 - (-8) \cdot 13)^2 + ((-7) \cdot (-8) - (-11) \cdot (-2))^2} \]

Подставим все значения в формулу для объема пирамиды.

Обратите внимание, что для полного решения необходимо подставить числовые значения координат вершин A, B, C и D.