Question

Задача. По кругу расставлено 100 чисел, каждое из которых равно равно 99, 100 или 101, причём любые два соседних числа различны. Лёша разбил эти числа на 50 пар соседних чисел, Миша тоже разбил эти числа на 50 пар соседних чисел, но другим способом. Далее каждый из них числа в парах перемножил и полученные произведения сложил. Докажите, что полученные Лёшей и Мишей числа равны. Решение. Будем уменьшать количество чисел в кругу так, чтобы числа Лёши и Миши менялись на одно и то же число. Пусть a, b, c — это числа 99, 100, 101 в некотором порядке. Заметим, что если заменить подряд идущие числа a,b,c на число a/ a,b,c на число b/ a,b,a на число a/ a,b,a на число b/ a,b,a на число c , то числа Лёши и Миши уменьшатся на одно и то же число. Будем проделывать эти операции, пока это возможно. На каждом шаге общее количество чисел будет чётно/ нечётно . Если ни одну из операций сделать не получается, то числа по кругу периодичны с длиной минимального периода 2/3/4/5/6 . Следовательно, общее количество оставшихся чисел n обязательно делится на 4/5/6/10/12 Осталось заметить, что каждое из произведений ab, bc, ca встречается и у Лёши, и у Миши по n/2; n/3; n/4; n/5; n/6; n/12 раз, а потому числа Лёши и Миши равны.

Answer 1

Задача

По кругу расставлено 100 чисел, каждое из которых равно 99, 100 или 101, причём любые два соседних числа различны. Лёша разбил эти числа на 50 пар соседних чисел, Миша тоже разбил эти числа на 50 пар соседних чисел, но другим способом. Далее каждый из них числа в парах перемножил и полученные произведения сложил. Докажите, что полученные Лёшей и Мишей числа равны.

Решение

Для решения данной задачи, будем уменьшать количество чисел в кругу так, чтобы числа Лёши и Миши менялись на одно и то же число. Пусть a, b, c — это числа 99, 100, 101 в некотором порядке. Заметим, что если заменить подряд идущие числа a, b, c на число a/a, b, c на число b/b, a на число a/a, b, a на число b/b, a на число c, то числа Лёши и Миши уменьшатся на одно и то же число. Будем проделывать эти операции, пока это возможно. На каждом шаге общее количество чисел будет чётно/нечётно.

Если ни одну из операций сделать не получается, то числа по кругу периодичны с длиной минимального периода 2/3/4/5/6. Следовательно, общее количество оставшихся чисел n обязательно делится на 4/5/6/10/12. Осталось заметить, что каждое из произведений ab, bc, ca встречается и у Лёши, и у Миши по n/2; n/3; n/4; n/5; n/6; n/12 раз, а потому числа Лёши и Миши равны.