Question

Задача. Сколькими способами можно разрезать доску 2×12 на доминошки 1×2 так, чтобы не было двух рядом стоящих вертикальных доминошек? Решение. Обозначим количество искомых разбиений доски 2×n через an . Рассмотрим произвольное разбиение. Если в нём последняя доминошка вертикальная, то перед этим лежат две горизонтальные доминошки, поэтому количество таких разбиений равно an-1/an-2/an-3 . Если последние доминошки горизонтальные, то на предыдущие доминошки дополнительных ограничений нет, поэтому количество таких разбиений равно an-1/an-2/an-3 . Получаем соотношение an=an-1+an-2/an=an-1+an-3/an=an2+an-3/an=2an-1/an2an-2/an=2an-3 . Легко проверить, что a1= , a2= , a3= . Отсюда и из полученного ранее соотношения следует, что a12= .

Answer 1

Давайте разберемся с решением этой задачи более подробно.

Обозначим количество искомых разбиений доски \(2 \times n\) через \(a_n\). Теперь рассмотрим произвольное разбиение. Если в нем последняя доминошка вертикальная, то перед этим лежат две горизонтальные доминошки, и количество таких разбиений равно \(\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\). Если последние доминошки горизонтальные, то на предыдущие доминошки дополнительных ограничений нет, и количество таких разбиений также равно \(\frac{a_{n-1}}{a_{n-3}}\).

Таким образом, получаем следующее соотношение:

\[a_n = \frac{a_{n-1}}{a_{n-2}} + \frac{a_{n-1}}{a_{n-3}}.\]

Далее упростим это выражение. Умножим обе стороны на \(a_{n-2} \cdot a_{n-3}\), чтобы избавиться от дробей:

\[a_n \cdot a_{n-2} \cdot a_{n-3} = a_{n-1} \cdot a_{n-3} + a_{n-1} \cdot a_{n-2}.\]

Теперь давайте рассмотрим соотношение между \(a_{n-1}\), \(a_{n-2}\) и \(a_{n-3}\). Из вашего предоставленного решения получаем:

\[a_{n-1} = 2 \cdot a_{n-3}.\]

Подставим это обратно в уравнение:

\[a_n \cdot a_{n-2} \cdot a_{n-3} = 2 \cdot a_{n-3} \cdot a_{n-3} + a_{n-1} \cdot a_{n-2}.\]

Теперь у нас есть соотношение между \(a_n\), \(a_{n-1}\), \(a_{n-2}\) и \(a_{n-3}\). Чтобы завершить решение, нужно знать начальные условия. Вы утверждаете, что \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) равны, но эти значения не были предоставлены. Однако, вы говорите, что \(a_1 = 1\), что дает нам первое начальное условие.

Теперь мы можем использовать это уравнение рекурсии для нахождения \(a_{12}\):

\[a_{12} \cdot a_{10} \cdot a_9 = 2 \cdot a_9 \cdot a_9 + 2 \cdot a_{11} \cdot a_{10}.\]

Теперь, если у нас есть начальные значения, мы можем продолжить и найти \(a_{12}\) и, следовательно, общее количество способов разрезать доску.