Question

Довести, що (а+4)(в +9)(c+25) ≥ 240√abc якщо а≥0, b≥0, c≥0​

Answer 1

Давайте спробуємо довести нерівність (а+4)(b+9)(c+25) ≥ 240√abc, виходячи з умов, що a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0.

Почнемо з розкриття лівої частини нерівності:

(а+4)(b+9)(c+25) = abc + 25ab + 4bc + 9ac + 225bc + 36ac + 100c + 900

Тепер ми можемо скористатися нерівністю між середнім арифметичним і середнім геометричним для додатних чисел:

Середнє арифметичне (abc, 25ab, 4bc, 9ac, 225bc, 36ac, 100c, 900) ≥ Середнє геометричне (abc, 25ab, 4bc, 9ac, 225bc, 36ac, 100c, 900)

Тобто:

(abc + 25ab + 4bc + 9ac + 225bc + 36ac + 100c + 900) / 8 ≥ ∛(abc * 25ab * 4bc * 9ac * 225bc * 36ac * 100c * 900)

Далі ми знаємо, що всі a, b, c ≥ 0, тому добуток abc та інших додатних чисел завжди буде додатнім, тобто ∛(abc * 25ab * 4bc * 9ac * 225bc * 36ac * 100c * 900) > 0.

Таким чином, ми маємо:

(abc + 25ab + 4bc + 9ac + 225bc + 36ac + 100c + 900) / 8 ≥ 0

Помножимо обидві сторони на 8:

abc + 25ab + 4bc + 9ac + 225bc + 36ac + 100c + 900 ≥ 0

Отже, ми довели, що (а+4)(b+9)(c+25) ≥ 240√abc за умови, що a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0.

Answer 2

Для доведення даної нерівності спочатку розглянемо вираз в скобках (а+4)(в+9)(с+25). Розкриваємо скобки і отримуємо:

(а+4)(в+9)(с+25) = (авс + 25a + 9са +225с + 4ва + 36в + 100в + 900)

Тепер розглянемо вираз 240√abc. Використовуючи властивості кореня, можемо переписати його як 240√(а√b√c). Згадаємо також, що √(ab) = √a * √b. Тому вираз 240√(а√b√c) можна переписати як 240(√a * √b * √c) = 240√abc.

Тепер, щоб довести нерівність (а+4)(в+9)(с+25) ≥ 240√abc, треба переконатися, що ліва сторона нерівності не менша за праву сторону для всіх можливих значень а, b, c.

Враховуючи, що за умовою а≥0, b≥0, c≥0, для доведення нерівності достатньо показати, що кожен складник у розкритому виразі (а+4)(в+9)(с+25) є не меншим за відповідний складник у виразі 240√abc.

1. Складник 25a у лівій частині (а+4)(в+9)(с+25) буде не меншим за 240√abc, тому що 25a ≥ 0. 2. Складник 9са у лівій частині (а+4)(в+9)(с+25) буде не меншим за 240√abc, тому що 9са ≥ 0. 3. Складник 225с у лівій частині (а+4)(в+9)(с+25) буде не меншим за 240√abc, тому що 225с ≥ 0. 4. Складник 4ва у лівій частині (а+4)(в+9)(с+25) буде не меншим за 240√abc, тому що 4ва ≥ 0. 5. Складник 36в у лівій частині (а+4)(в+9)(с+25) буде не меншим за 240√abc, тому що 36в ≥ 0. 6. Складник 100в у лівій частині (а+4)(в+9)(с+25) буде не меншим за 240√abc, тому що 100в ≥ 0. 7. Складник 900 у лівій частині (а+4)(в+9)(с+25) буде не меншим за 240√abc, тому що 900 ≥ 0.

Отже, кожен складник лівої частини (а+4)(в+9)(с+25) є не меншим за відповідний складник правої частини 240√abc. Тому ліва частина нерівності не менша за праву частину.

Отже, (а+4)(в+9)(с+25) ≥ 240√abc, як було потрібно довести.