Question

Точка O не лежить у площині трикутника ABC, точки M, P і K належать відрізкам AO, BO і CO так, що ∠OMP = ∠OAB, ∠OPK = ∠OBC. Доведіть, що площини ABC і MPK паралельні.

Answer 1

Ответ:

Для доведення, що площини ABC і MPK паралельні, ми можемо використовувати наступний метод:

Розглянемо дві прямі, які містяться в площині ABC: AB і BC. З умови відомо, що ∠OMP = ∠OAB і ∠OPK = ∠OBC.

Оскільки кут ∠OMP дорівнює куту ∠OAB, то лінія MP є паралельною лінії AB, оскільки вони мають однаковий кут на перетині з перпендикуляром до прямої AB.

Аналогічно, лінія KP є паралельною лінії BC, оскільки ∠OPK = ∠OBC.

Отже, MP паралельна AB і KP паралельна BC.

Якщо дві лінії у площині паралельні до двох ліній іншої площини, то ці дві площини також паралельні.

Отже, площини ABC і MPK паралельні.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доведення того, що площини abc і mpk паралельні, ми можемо скористатися властивостями паралельних прямих та паралельних площин.

Оскільки точка o не лежить на площині abc, то всі три прямих ao, bo і co перетинають площину abc в окремих точках m, p і k відповідно.

Далі, враховуючи, що ∠omp = ∠oab і ∠opk = ∠obc, ми приходимо до висновку, що прямі ao і mp, а також прямі bo і kp є гомологічними прямими, оскільки вони мають однакові кути між собою.

Позначимо точку перетину mp і bo як q. Тоді ∠opq = ∠obm (оріентація кутів враховується). Оскільки ∠opk = ∠obc, то отримуємо, що ∠opq = ∠opk + ∠okq = ∠obc + ∠okq.

Також, враховуючи, що ∠obm = ∠omp, ми можемо записати ∠opq = ∠omp + ∠omq = ∠oab + ∠omq.

Отже, з отриманого виразу для ∠opq ми можемо зробити висновок, що ∠oab + ∠omq = ∠obc + ∠okq.

Враховуючи, що ∠oab = ∠obc і ∠omp = ∠okq, ми одержуємо, що ∠omq = ∠okq.

Це означає, що точки m, q і k лежать в одній площині. Отже, площини abc і mpk мають спільну точку (точку q) і пряму, яка проходить через цю точку. Згідно властивостей, які зазначені в постановці, вони паралельні.