Question

Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны b. Определить большее основание, при котором площадь трапеции будет наибольшей.

Answer 1

Большее основание трапеции равно 2b, при котором площадь трапеции будет наибольшей и равной bh

Answer 2

Давайте обозначим трапецию следующим образом:

- \(a\) и \(b\) - боковые стороны, - \(h\) - высота трапеции, - \(c_1\) и \(c_2\) - основания трапеции.

Мы знаем, что боковые стороны и меньшее основание трапеции равны \(b\), то есть \(a = b\).

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\[S = \frac{h(c_1 + c_2)}{2}\]

Задача состоит в том, чтобы найти наибольшее значение площади \(S\), изменяя значение большего основания \(c_1\).

Из условия \(a = b\) следует, что боковые стороны трапеции равны, и трапеция является равнобокой. Таким образом, высота трапеции \(h\) делит ее на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катет \(b\) и гипотенузу \(h\).

Теперь рассмотрим треугольник с катетами \(b\) и \(c_1\). Применяя теорему Пифагора, получаем:

\[h^2 = b^2 + \left(\frac{c_1 - a}{2}\right)^2\]

Решив это уравнение относительно \(c_1\), мы найдем:

\[c_1 = a + \sqrt{h^2 - b^2}\]

Теперь мы можем подставить это значение \(c_1\) в формулу для площади трапеции:

\[S = \frac{h(a + a + \sqrt{h^2 - b^2})}{2} = \frac{h(2a + \sqrt{h^2 - b^2})}{2}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[S = a \cdot h + \frac{h\sqrt{h^2 - b^2}}{2}\]

Таким образом, чтобы максимизировать площадь трапеции, нужно максимизировать выражение \(a \cdot h + \frac{h\sqrt{h^2 - b^2}}{2}\). Учитывая, что \(a = b\), мы можем записать это как функцию одной переменной \(h\):

\[f(h) = b \cdot h + \frac{h\sqrt{h^2 - b^2}}{2}\]

Чтобы найти максимальное значение \(f(h)\), можно взять производную \(f'(h)\) и приравнять ее к нулю:

\[f'(h) = b + \frac{\sqrt{h^2 - b^2}}{2} - \frac{h^2}{\sqrt{h^2 - b^2}} = 0\]

Это уравнение можно решить численно, чтобы найти оптимальное значение \(h\). После того, как найдено \(h\), можно использовать его для вычисления соответствующего значения \(c_1\) с помощью уравнения \(c_1 = a + \sqrt{h^2 - b^2}\), где \(a = b\).

Таким образом, найденные \(h\) и \(c_1\) будут соответствовать трапеции с наибольшей площадью.