Question

- 9x ^ 2 + 12x - 4 > 0 0,1x ^ 2 + x - 2, 4 <= 0 - 2x ^ 2 - 4x - 6 >= 0 3x ^ 2 - x + 5 > 0 x ^ 2 < 5x

Answer 1

Чтобы решить данное неравенство системы квадратных уравнений и неравенств, начнем с раскрытия скобок и упрощения выражений.

Дано неравенство:

\[ 9x^2 + 12x - 4 > 0 \]

1. Решим квадратное уравнение:

\[ 9x^2 + 12x - 4 = 0 \]

Используем квадратное уравнение для нахождения корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае, у нас \(a = 9\), \(b = 12\), и \(c = -4\). Подставим значения:

\[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(9)(-4)}}{2(9)} \]

\[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 144}}{18} \]

\[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{288}}{18} \]

\[ x = \frac{-12 \pm 12\sqrt{2}}{18} \]

\[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{3} \]

Таким образом, у нас два корня:

\[ x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{3} \]

2. Теперь рассмотрим второе неравенство:

\[ 0.1x^2 + x - 2.4 \leq 0 \]

Также используем квадратное уравнение для нахождения корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \(a = 0.1\), \(b = 1\), и \(c = -2.4\). Подставим значения:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(0.1)(-2.4)}}{2(0.1)} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 0.96}}{0.2} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{2.96}}{0.2} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{2.96}}{0.2} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{2.96}}{0.2} \]

\[ x \approx -6 \text{ или } 4 \]

3. И, наконец, рассмотрим третье неравенство:

\[ 3x^2 - x + 5 > 0 \]

Используем тот же метод для нахождения корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \(a = 3\), \(b = -1\), и \(c = 5\). Подставим значения:

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(3)(5)}}{2(3)} \]

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 60}}{6} \]

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{-59}}{6} \]

Так как дискриминант отрицателен, у нас нет вещественных корней, и уравнение не имеет решений.

Теперь, чтобы определить интервалы, где выполнены условия неравенств, посмотрим, где значения функций \(9x^2 + 12x - 4\), \(0.1x^2 + x - 2.4\), и \(3x^2 - x + 5\) положительны и отрицательны.

1. Рассмотрим интервалы для \(9x^2 + 12x - 4\):

- \(x < \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{3}\) - \(\frac{-2 - 2\sqrt{2}}{3} < x < \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{3}\) - \(x > \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{3}\)

2. Рассмотрим интервалы для \(0.1x^2 + x - 2.4\):

- \(x < -6\) - \(-6 < x < 4\) - \(x > 4\)

3. Рассмотрим интервалы для \(3x^2 - x + 5\):

- Всегда положительно, так как дискриминант отрицателен.

Теперь объединим условия:

- Для \(9x^2 + 12x - 4 > 0\): \(\frac{-2 - 2\sqrt{2}}{3} < x < \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{3}\) - Для \(0.1x^2 + x - 2.4 \leq 0\): \(x \leq -6\) или \(4 \geq x\) - Для \(3x^2 - x + 5 > 0\): Всегда положительно.

Таким образом, пересечение этих интервалов даст область решения системы неравенств:

\[ \frac{-2 - 2\sqrt{2}}{3} < x \leq -6 \text{ или } 4 \leq x < \frac{-2 + 2\sqrt{2}}{3} \]

Это означает, что значения \(x\) в указанных интервалах удовлетворяют всем трем неравенствам системы.