Question

Скількома нулями закінчується добуток натуральних чисел 1901*1902*1903*...1999*2000?

Answer 1

Ответ: 25

Пошаговое объяснение:

Каждое пятое число дает 1 ноль (таких чисел 20), каждое двадцать пятое еще один (таких чисел 4 - 1925, 1950, 1975 и 2000), и, наконец, 2000 даст еще один 0, потому что делится на 125. Всего 20+4+1=25 нулей.

Answer 2

Для того чтобы определить, сколько нулей содержит добуток, нужно посчитать количество пар пятерок и двоек в разложении каждого из чисел 1901, 1902, ..., 1999, 2000.

Заметим, что каждый раз при умножении на очередное натуральное число, в разложении исходного числа добавляется одна двойка и одна пятерка.

Сначала посчитаем количество пятерок.

В промежутке от 1901 до 1999 включительно есть 400 чисел, и каждое из них делится на 5, поэтому количество пятерок в разложении каждого из этих чисел равно 1.

В промежутке от 1901 до 2000 включительно есть 200 чисел, которые делятся на 25 (квадратными пятерками), поэтому количество пятерок в разложении каждого из этих чисел увеличивается на 1.

В промежутке от 1901 до 2000 включительно есть 40 чисел, которые делятся на 125 (кубическими пятерками), поэтому количество пятерок в разложении каждого из этих чисел увеличивается на 1.

В промежутке от 1901 до 2000 включительно есть 8 чисел, которые делятся на 625 (четвертыми степенями пятерки), поэтому количество пятерок в разложении каждого из этих чисел увеличивается на 1.

В промежутке от 1901 до 2000 включительно есть 1 число, которое делятся на 3125 (пятой степенью пятерки), поэтому количество пятерок в разложении этого числа увеличивается на 1.

Теперь посчитаем количество двоек.

Все числа от 1901 до 2000 содержат хотя бы одну двойку в своем разложении, поэтому количество двоек в разложении каждого из этих чисел равно 1.

Нам нужно найти минимум количества пятерок и двоек для того, чтобы добиться нулей в конце. Поэтому ответом будет минимум от количества пятерок и двоек.

Количество пятерок: 400 + 200 + 40 + 8 + 1 = 649 Количество двоек: 200

Минимум от количества пятерок и двоек: min(649, 200) = 200

Таким образом, добуток натуральных чисел 1901 * 1902 * 1903 * ... * 1999 * 2000 заканчивается двумя нулями.