Question

Для всіх дійсних чисел a i b доведіть нерівність 4а² +b² +12 2ab+2a + b .​

Answer 1

Ответ:

Для доведення нерівності 4a² + b² + 12 ≥ 2ab + 2a + b можна використовувати метод додавання та віднімання. Почнемо з даної нерівності:

4a² + b² + 12 ≥ 2ab + 2a + b

Віднімемо вираз 2ab + 2a + b з обох сторін нерівності:

4a² + b² + 12 - (2ab + 2a + b) ≥ 0

Тепер розкриємо дужки та спростимо вираз:

4a² + b² + 12 - 2ab - 2a - b ≥ 0

4a² - 2ab + b² - 2a - b + 12 ≥ 0

Тепер розглянемо вираз 4a² - 2ab + b². Це можна розглядати як квадратичний трином:

(2a - b)²

Тепер можемо підставити цей вираз назад у нерівність:

(2a - b)² - 2a - b + 12 ≥ 0

Далі відзначимо, що вираз (2a - b)² завжди не від'ємний, оскільки квадрат дійсного числа завжди не від'ємний. Тобто (2a - b)² ≥ 0.

Отже, залишається розглянути вираз -2a - b + 12. Для того, щоб нерівність була виконана, цей вираз також повинен бути не менше нуля:

-2a - b + 12 ≥ 0

Тепер ми маємо два умови:

1. (2a - b)² ≥ 0

2. -2a - b + 12 ≥ 0

Ці дві умови разом гарантують, що вихідна нерівність 4a² + b² + 12 ≥ 2ab + 2a + b виконується для всіх дійсних чисел a і b.

Answer 2

Давайте розглянемо нерівність крок за кроком.

Маємо нерівність: \[4a^2 + b^2 + 12 < 2ab + 2a + b\]

Перенесемо всі члени в ліву частину нерівності: \[4a^2 + b^2 + 12 - 2ab - 2a - b < 0\]

Тепер об'єднаємо подібні члени: \[4a^2 - 2ab - 2a + b^2 - b + 12 < 0\]

Розглянемо перший тричлен \(4a^2 - 2ab - 2a\). Його можна факторизувати: \[2a(2a - b - 1)\]

Таким чином, нерівність можна переписати: \[2a(2a - b - 1) + b^2 - b + 12 < 0\]

Тепер ми можемо спростити її до наступного вигляду: \[2a(2a - b - 1) + (b^2 - b + 12) < 0\]

Таким чином, відповідна нерівність виглядає як сума добутків та квадратного члена. Тепер нам необхідно дослідити, при яких значеннях \(a\) та \(b\) ця нерівність виконується. Для цього ми можемо використати аналіз знаків або інші методи, залежно від конкретного контексту задачі.