Question

Доведіть, що при всіх дійсних значеннях c виконується нерівність: (c-4)^2-3>2(c-7)

Answer 1

Возводим в левой части в кадрат,находим разность левой и правой части,получим    с^2-8с+16-3+14=с^2-10с+27= (с-5)^2+2 ,а сумма квадрата выражения и положительного числа всегда больше 0.

Answer 2

Спершу розкриємо дужки в лівій частині нерівності:

(c-4)^2 - 3 > 2(c-7)

(c-4)(c-4) - 3 > 2c - 14

(c^2 - 8c + 16) - 3 > 2c - 14

c^2 - 8c + 13 > 2c - 14

Тепер перенесемо всі члени на одну сторону нерівності:

c^2 - 8c - 2c + 13 + 14 > 0

c^2 - 10c + 27 > 0

Тепер знайдемо вершину параболи за допомогою формули вершини параболи: x = -b/2a

В нашому випадку a = 1, b = -10, тому

c = -(-10)/2*1 = 5

Тепер підставимо це значення c у рівняння:

5^2 - 10*5 + 27 > 0

25 - 50 + 27 > 0

2 > 0

Отже, нерівність виконується для всіх дійсних значень c.