Question

потрібно виготувати ящик з кришкою, об'єм якого дорівнює 72 дм3,а сторони основи співвідносяться як1:2.Які повинні бути розміри всіх його сторін, щоб повна поверхя ящика була найменшою?

Answer 1

Давайте позначимо розміри ящика як \(x, 2x\) і \(2x\) (оскільки сторони основи співвідносяться як 1:2). Висота ящика буде \(x\), оскільки об'єм дорівнює \(72 \, \text{дм}^3\).

Об'єм прямокутного паралелепіпеда обчислюється за формулою \(V = \text{довжина} \times \text{ширина} \times \text{висота}\). У нашому випадку маємо:

\[72 = x \times 2x \times 2x.\]

Розв'яжемо це рівняння для \(x\):

\[72 = 4x^3.\]

\[x^3 = 18.\]

\[x = \sqrt[3]{18}.\]

Отже, розміри ящика будуть:

\[\text{Довжина} = \sqrt[3]{18},\] \[\text{Ширина} = 2\sqrt[3]{18},\] \[\text{Висота} = 2\sqrt[3]{18}.\]

Ці розміри забезпечать мінімальну повну поверхню ящика з кришкою.

Answer 2

В даній задачі ми маємо знайти розміри всіх сторін ящика, щоб його повна поверхня була найменшою.

Повна поверхня ящика складається з п'яти поверхонь: двох основ та трьох бокових сторін.

Для початку знайдемо формулу для обчислення повної поверхні ящика, використовуючи відомі дані:

Повна поверхна ящика = 2*(площа основи) + 3*(площа бокової сторони).

Площа основи може бути обчислена за формулою: площа о = сторона а * сторона б.

Площа бокової сторони може бути обчислена за формулою: площа б = сторона а * висота.

В умові задачі ми маємо, що об'єм ящика дорівнює 72 дм3, а сторони основи співвідносяться як 1:2. Тобто, нехай сторона а дорівнює x, тоді сторона б дорівнює 2x.

Також, в умові задано, що маємо знайти розміри сторін, щоб повна поверхня ящика була найменшою. Це означає, що ми маємо знайти критичні значення розмірів сторін, які задовольняють дану умову.

Тепер, ми можемо записати формули для обчислення площі основи та бокової сторони, використовуючи знані дані:

площа о = x * 2x = 2x^2, площа б = x * висота.

Об'єм ящика може бути обчислений за формулою: об'єм = площа основи * висота = 2x^2 * висота.

З умови задачі ми знаємо, що об'єм ящика дорівнює 72 дм3, тому ми можемо записати:

2x^2 * висота = 72.

Знайдемо вираз для висоти:

висота = 72 / (2x^2) = 36 / x^2.

Замінимо вираз для висоти в формулі для площі бокової сторони:

площа б = x * (36 / x^2) = 36 / x,

І вираз для повної поверхні:

2*(площа основи) + 3*(площа бокової сторони) = 2*(2x^2) + 3*(36 / x).

Знаючи цей вираз, ми можемо знайти повну поверхню і отримати критичні значення розмірів сторін, для яких ця поверхня буде найменшою. Для цього ми можемо обчислити похідну цієї формули та знайти її нульові точки, що відповідають критичним значенням.

Таким чином, розмір сторіни а ящика буде одним із коренів отриманого рівняння. Знайдемо ці корені і відповідь на запитання задачі буде координатами цих коренів, які вказують розміри всіх сторін ящика.