Question

Відомі координати вершин піраміди ABCD. Знайти методами векторної алгебри: 1) довжину ребра АВ;2) косинус кута між ребрами AB і AD;3) площу грані АВС; 4) об'єм піраміди;Піраміду показати на рисунку:A(6; -4; 5), B(-4; 4; 5), C(4; -6; 3), D(6; 0; -3).​

Answer 1

Ответ:

Для знаходження вказаних параметрів піраміди ABCD, використаємо векторну алгебру.

1) Довжина ребра AB може бути знайдена за допомогою формули відстані між двома точками:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

AB = √((-4 - 6)^2 + (4 - (-4))^2 + (5 - (-4))^2)

= √((-10)^2 + (8)^2 + (9)^2)

= √(100 + 64 + 81)

= √(245)

≈ 15.65

Таким чином, довжина ребра AB приблизно дорівнює 15.65 одиницям.

2) Косинус кута між ребрами AB і AD можна знайти за допомогою формули:

cosθ = (AB · AD) / (|AB| · |AD|)

Де AB · AD - скалярний добуток векторів AB і AD,

|AB| і |AD| - довжини векторів AB і AD.

AB · AD = (x2 - x1)(x3 - x1) + (y2 - y1)(y3 - y1) + (z2 - z1)(z3 - z1)

= (-4 - 6)(6 - 6) + (4 - (-4))(0 - (-4)) + (5 - (-4))(-3 - (-4))

= (-10)(0) + (8)(4) + (9)(1)

= 32 + 36 + 9

= 77

|AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

= √((-4 - 6)^2 + (4 - (-4))^2 + (5 - (-4))^2)

= √(245)

≈ 15.65

|AD| = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 + (z3 - z1)^2)

= √((4 - 6)^2 + (-6 - (-4))^2 + (3 - (-4))^2)

= √(74)

≈ 8.60

cosθ = (77) / (15.65 * 8.60)

≈ 0.56

Таким чином, косинус кута між ребрами AB і AD приблизно дорівнює 0.56.

3) Площа грані ABC може бути знайдена за допомогою формули піввекторного добутку:

Площа = 1/2 * |AB x AC|

Де AB x AC - піввекторний добуток векторів AB і AC.

AB x AC = ((y2 - y1)(z3 - z1) - (z2 - z1)(y3 - y1), (z2 - z1)(x3 - x1) - (x2 - x1)(z3 - z1), (x2 - x1)(y3 - y1) - (y2 - y1)(x3 - x1))

= ((4 - (-4))(3 - (-4)) - (5 - (-4))(-6 - (-4)), (5 - (-4))(4 - (-4)) - (-4 - (-4))(3 - (-4)), (-4 - (-4))(6 - (-4)) - (4 - (-4))(4 - (-4)))

= (8 * 7 - 9 * (-10), 9 * 8 - 0 * 7, 0 * 2 - 8 * 0)

= (56 + 90, 72, 0)

= (146, 72, 0)

|AB x AC| = √((146)^2 + (72)^2 + (0)^2)

= √(21316 + 5184 + 0)

= √(26500)

≈ 162.91

Площа = 1/2 * 162.91

≈ 81.46

Таким чином, площа грані ABC приблизно дорівнює 81.46 квадратним одиницям.

4) Об'єм піраміди можна знайти за допомогою формули:

Об'єм = 1/6 * |(AB · AC) x AD|

Де AB · AC - скалярний добуток векторів AB і AC,

|(AB · AC) x AD| - модуль піввекторного добутку скалярного добутку AB і AC з вектором AD.

(AB · AC) x AD = ((x2 - x1)(y3 - y1) - (y2 - y1)(x3 - x1), (x2 - x1)(z3 - z1) - (z2 - z1)(x3 - x1), (y2 - y1)(z3 - z1) - (z2 - z1)(y3 - y1))

= ((-4 - 6)(3 - (-4)) - (4 - (-4))(6 - 6), (-4 - 6)(5 - (-4)) - (5 - (-4))(6 - 6), (4 - (-4))(5 - (-4)) - (5 - (-4))(4 - (-4)))

= (-10 * 7 - 8 * 0, -10 * 9 - 9 * 0, 8 * 9 - 9 * 8)

= (-70, -90, 0)

|(AB · AC) x AD| = √((-70)^2 + (-90)^2 + (0)^2)

= √(4900 + 8100 + 0)

= √(13000)

≈ 113.85

Об'єм = 1/6 * 113.85

≈ 18.98

Таким чином, об'єм піраміди приблизно дорівнює 18.98 кубічних одиниць.

Піраміда ABCD показана на рисунку:

B(-4, 4, 5)

/ \

/ \

/ \

/ \

A(6, -4, 5)---D(6, 0, -3)

\ /

\ /

\ /

\ /

C(4, -6, 3)

Answer 2

Відомі координати вершин піраміди ABCD

Дані координати вершин піраміди ABCD є: A(6, -4, 5) B(-4, 4, 5) C(4, -6, 3) D(6, 0, -3)

1) Довжина ребра AB

Для знаходження довжини ребра AB можна скористатись формулою відстані між двома точками в тривимірному просторі:

Довжина ребра AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

Підставляючи координати вершин A(6, -4,