Question

СРОЧНО! с дано розв'язком і тд. 6. Складіть рівняння дотичної до графіка функції у=4/х+х у точці з абцисою х0=1 7. Знайдіть найбільше і найменьше значення функції у=х3 - 3х на проміжку [1:3] 8. Дослідіть функцію f(x) = х4 - 5х2 + 4 і побудуйте її графік 9. Знайдіть довжину (у м) сторін прямокутної ділянки землі площею 16 а, щоб для її огорожі знадобилось якнайменьше паркану

Answer 1

6. Для знаходження рівняння дотичної до графіка функції y = 4/x у точці з абсцисою x₀ = 1, спершу знайдемо значення похідної функції y = 4/x в цій точці. Для цього використаємо правило диференціювання функції 1/x, яке гласить, що (d/dx)(1/x) = -1/x².

Отже, похідна функції y = 4/x буде рівна:

(dy/dx) = -4/x².

Тепер підставимо значення x₀ = 1 в це рівняння:

(dy/dx) = -4/1² = -4.

Отже, похідна функції у точці x₀ = 1 дорівнює -4.

Тепер ми можемо скласти рівняння дотичної. Відомо, що рівняння дотичної має вигляд:

y - y₀ = m(x - x₀),

де (x₀, y₀) - точка дотику, а m - похідна функції в цій точці.

Підставимо відомі значення:

y - y₀ = -4(x - 1).

Тепер ми маємо рівняння дотичної до графіка функції y = 4/x у точці з абсцисою x₀ = 1.

7. Щоб знайти найбільше і найменше значення функції y = x^3 - 3x на проміжку [1, 3], спершу знайдемо значення функції в границях цього проміжку, а потім визначимо, де вона досягає мінімуму і максимуму.

y(1) = 1^3 - 3 * 1 = 1 - 3 = -2, y(3) = 3^3 - 3 * 3 = 27 - 9 = 18.

Таким чином, найменше значення функції на проміжку [1, 3] дорівнює -2, а найбільше - 18.

8. Дослідження функції f(x) = x^4 - 5x^2 + 4:

a) Знайдемо похідні:

f'(x) = 4x^3 - 10x, f''(x) = 12x^2 - 10.

b) Знайдемо точки екстремуму, розв'язавши рівняння f'(x) = 0:

4x^3 - 10x = 0.

Знайдемо спільний множник:

2x(2x^2 - 5) = 0.

Отримуємо два значення x:

x₁ = 0, x₂ = √(5/2).

c) Знайдемо відповідні значення функції:

f(0) = 0^4 - 5 * 0^2 + 4 = 4, f(√(5/2)) = (√(5/2))^4 - 5(√(5/2))^2 + 4.

d) Знайдемо знаки похідних навколо точок x₁ і x₂, щоб визначити тип екстремуму:

Для x₁ = 0: f''(0) = 12 * 0^2 - 10 = -10 (від'ємний), отже, точка x₁ = 0 - мінімум.

Для x₂ = √(5/2): f''(√(5/2)) = 12 * (√(5/2))^2 - 10 = 12 * (5/2) - 10 = 6 - 10 = -4 (від'ємний), отже, точка x₂ = √(5/2) - максимум.

d) Побудуємо графік функції f(x):

За результатами дослідження знаємо, що точка (0, 4) - мінімум, і точка (√(5/2), f(√(5/2))) - максимум. Графік буде мати форму пароболи, відкритої вгору, з мінімумом в точці (0, 4) і максимумом в точці (√(5/2), f(√(5/2))).

9. Щоб знайти довжину сторін прямокутної ділянки землі площею 16 а, щоб для її огорожі знадобилось якнайменше паркану, ми повинні знайти оптимальні розміри прямокутника.

Позначимо довжину однієї сторони прямокутника як "x", а іншої сторони як "y". Отже, ми маємо дві рівності:

xy = 16 (з площею прямокутника), 2x + 2y = L (з периметром прямокутника, де L - довжина паркану).

Ми хочемо знайти значення