Question

1. Знайти проміжки зростання і спадання i функції. f(x)=x3-4x²+5x-1​

Answer 1

Для знаходження проміжків зростання і спадання функції \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 1 \), спершу знайдемо похідну цієї функції, а потім з'ясуємо, де ця похідна дорівнює нулю.

Похідна функції \( f(x) \) є:
\( f'(x) = 3x^2 - 8x + 5 \).

Тепер знайдемо точки, де \( f'(x) \) дорівнює нулю:
\( 3x^2 - 8x + 5 = 0 \).

Можна використовувати квадратне рівняння для знаходження коренів:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).

У нашому випадку, \( a = 3 \), \( b = -8 \), і \( c = 5 \).

\( x_1 = \frac{8 + \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3} \)
\( x_2 = \frac{8 - \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3} \)

Обчисліть значення \( x_1 \) і \( x_2 \), і це допоможе знайти проміжки зростання і спадання функції \( f(x) \).

Answer 2

Для знаходження проміжків зростання та спадання функції f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 1, треба визначити її похідну f'(x) і вирішити нерівняння f'(x) > 0 для проміжків зростання та f'(x) < 0 для проміжків спадання.

Похідна функції f(x) дорівнює:

f'(x) = 3x^2 - 8x + 5.

Знайдемо корені цього квадратного рівняння:

3x^2 - 8x + 5 = 0.

Розв'язавши рівняння, отримаємо два значення x1 і x2:

x1 = 1, x2 = 5/3.

Перевіряємо значення похідної на інтервалах між цими значеннями та за межами:

1) f'(x) < 0, коли x < 1, 2) f'(x) > 0, коли 1 < x < 5/3, 3) f'(x) < 0, коли x > 5/3.

Тепер проаналізуємо знаки похідної на інтервалах:

1) x < 1: f'(x) < 0, отже функція f(x) спадає на цьому інтервалі, 2) 1 < x < 5/3: f'(x) > 0, отже функція f(x) зростає на цьому інтервалі, 3) x > 5/3: f'(x) < 0, отже функція f(x) спадає на цьому інтервалі.

Отже, проміжки зростання функції f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 1 на інтервалі (1, 5/3), а проміжки спадання на інтервалах (-∞, 1) та (5/3, +∞).