Question

Знайти вектор x, колінеарний вектору a = 2i + j - k і такий, що задовольняє умову x × a = 3​

Answer 1

Найти вектор m, коллинеарный вектору

a = 2i + j-k и удовлетворяющий условию

m•a = 3​

Пошаговое объяснение:

Переобозначим вектор для удобства введения координат.

Пусть координаты вектора

m ( x;y;z).

Координаты вектора а(2;1;-1) . Тк по условию вектора коллинеарные, то их координаты пропорциональны 2/x=1/y=-1/z.

Выразим всё через у :

2/x=1/y => x=2y ,

1/y=-1/z =>z=-y.

По условию скалярное произведение х•а=3 или

2x+y-z=3. Подставим что выразили.

2•(2у)+у-(-у)=3,

6у=3, у=0,5.

Тогда х=2•0,5=1,

z=-0,5.

Вектор имеет координаты

m(1 ; 0,5 ;-0,5)

Answer 2

Для того чтобы найти вектор x, коллинеарный вектору a = 2i + j - k и такой, что удовлетворяет условию x × a = 3, мы можем воспользоваться свойством векторного произведения.

Векторное произведение x и a можно выразить как:

x × a = |x| |a| sin(θ) n,

где |x| и |a| - длины векторов x и a соответственно, θ - угол между векторами, а n - единичный вектор, направленный вдоль нормали к плоскости, образованной x и a.

Так как вектор x коллинеарен вектору a, то они параллельны и угол между ними равен 0° или 180°, и sin(θ) может быть равна только 0 или 1.

Из условия x × a = 3 следует, что sin(θ) = 1, так как иначе векторное произведение будет равно 0.

Таким образом, sin(θ) = 1, а значит, угол между векторами равен 90°.

Так как a = 2i + j - k, а x коллинеарен a, то он может быть представлен в виде x = λa, где λ - некоторое число.

Умножим вектор a на любое число λ, чтобы получить вектор x, соответствующий условию x × a = 3.

Подставляя a = 2i + j - k в выражение x = λa, получим:

x = λ(2i + j - k).

Теперь рассмотрим векторное произведение x × a:

x × a = λ(2i + j - k) × (2i + j - k).

Раскроем скобки:

x × a = λ(4i^2 + 2ij - 2ik + ji + j^2 - jk - ki + kj - k^2).

Учитывая, что i^2 = j^2 = k^2 = -1 и ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j, получим:

x × a = λ(4(-1) + 2k - (-k) + k + (-1) - (-1) - (-1) + (-k) - (-1)).

Упростим:

x × a = λ(-2).

Таким образом, чтобы уравнение x × a = 3 выполнялось, необходимо, чтобы λ(-2) = 3.

Решая это уравнение, получим:

λ(-2) = 3, λ = -3/2.

Теперь мы знаем, что λ = -3/2. Подставим это значение в выражение x = λa:

x = (-3/2)(2i + j - k).

Раскроем скобки:

x = -3i/2 - 3j/2 + 3k/2.

Таким образом, вектор x, коллинеарный вектору a = 2i + j - k и удовлетворяющий условию x × a = 3, равен -3i/2 - 3j/2 + 3k/2.