Question

ДАЮ 50 БАЛЛОВ Дана арифметическая прогрессия. Если третий член этой прогрессии умножить на разность этой прогрессии, то получится число 12. Известно, что разность между первым членом этой прогрессии и разностью этай прогрессии не превосходит по абсолютной величине числа 1. Если из этой прогрессии последовательно выбрать члены, номера которых нацело делятся на число 3, то получится новая последовательность. Сумма первых пяти членов этой новой последовательности равна 90. В ответ записать значение шестого члена искодной арифметической​

Answer 1

Ответ:

$a_6 = 12$

Пошаговое объяснение:

Пусть $a_1, a_2, a_3 ,\dots , a_n$ образуют арифметическую прогрессию.

Тогда по условию:

$a_3 + a_6 + a_9 + a_{12} + a_{15} = 90\\\cfrac{(a_3+a_{15})*5}{2} = 90\\a_3 +a_{15} = 36\\a_1 + 8d = 18\\a_1 = 18-8d$

Так как $a_3d = 12$, то

$d(a_1 + 2d) = 12\\d(18-8d + 2d) = 12\\-6d^2 + 18d -12 = 0\\d^2 - 3d + 2 = 0\\(d - 1) (d - 2) = 0\\d = 1, a_1 = 10\\d= 2, a_1 = 2$

Должно выполнятся условие:

$></p><p>Видим, что при d = 1 неравенство не выполняется.</p><p>Тогда d = 2.</p><p>Найдем шестой член арифметической прогрессии:</p><p><img src=$

Answer 2

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Пусть первый член арифметической прогрессии равен a, а разность этой прогрессии равна d.

2. Третий член этой прогрессии можно представить как a + 2d.

3. Условие гласит, что если умножить третий член на разность прогрессии, то получится число 12. То есть:

(a + 2d) * d = 12

4. Рассмотрим второе условие: разность между первым членом прогрессии (a) и разностью (d) не превосходит по абсолютной величине число 1. Это означает:

|a - d| ≤ 1

5. Теперь мы имеем систему уравнений:

(a + 2d) * d = 12 |a - d| ≤ 1

6. Решим первое уравнение:

a*d + 2d^2 = 12

7. Поделим оба уравнения на d, так как d не равно 0:

a + 2d = 12/d |a - d| ≤ 1

8. Рассмотрим условие |a - d| ≤ 1. Это означает, что a и d находятся на расстоянии не более чем 1 друг от друга. Таким образом, a может быть равно (d - 1), d или (d + 1).

9. Теперь подставим значения a в первое уравнение:

- Если a = (d - 1), то получаем: (d - 1) + 2d = 12/d 3d - 1 = 12/d

- Если a = d, то получаем: d + 2d = 12/d 3d = 12/d

- Если a = (d + 1), то получаем: (d + 1) + 2d = 12/d 3d + 1 = 12/d

10. Рассмотрим каждый случай по отдельности:

- Если 3d - 1 = 12/d, то мы можем переписать это уравнение следующим образом: 3d^2 - d - 12 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение. Давайте найдем его корни:

d^2 - d - 4d + 4 = 0 d^2 - 5d + 4 = 0 (d - 4)(d - 1) = 0

Из этого уравнения получаем два значения d: d = 4 и d = 1.

- Если 3d = 12/d, то это уравнение преобразуется следующим образом: 3d^2 = 12

Решим это уравнение:

d^2 = 4 d = ±2

- Если 3d + 1 = 12/d, то мы можем переписать его как: 3d^2 + d - 12 = 0

Снова решим это квадратное уравнение:

d^2 + 4d - 3d - 12 = 0 d^2 + d - 12 = 0 (d + 4)(d - 3) = 0

Из этого уравнения получаем два значения d: d = -4 и d = 3.

11. Теперь у нас есть несколько вариантов значений d. Давайте рассмотрим каждый из них.

- Если d = 4, то из уравнения a + 2d = 12/d получаем: a + 2*4 = 12/4 a + 8 = 3 a = -5

- Если d = 1, то из уравнения a + 2d = 12/d получаем: a + 2*1 = 12/1 a + 2 = 12 a = 10

- Если d = -4, то из уравнения a + 2d = 12/d получаем: a + 2*(-4) = 12/(-4) a - 8 = -3 a = 5

- Если d = 3, то из уравнения a + 2d = 12/d получаем: a + 2*3 = 12/3 a + 6 = 4 a = -2

Теперь у нас есть значения a и d для каждого случая. Мы также знаем, что сумма первых пяти членов новой последовательности равна 90. Новая последовательность состоит из членов, номера которых нацело делятся на 3.

12. Рассмотрим каждый случай:

- Если a = -5 и d = 4, то первые пять членов новой последовательности будут: -5, -1, 3, 7, 11

Сумма этих членов равна -5 - 1 + 3 + 7 + 11 = 15.

- Если a = 10 и d = 1, то первые пять членов новой последовательности будут: 10, 11, 12, 13, 14

Сумма этих членов равна 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 60.

- Если a = 5 и d = -4, то первые пять членов новой последовательности будут: 5, 1, -3, -7, -11

Сумма этих членов равна 5 + 1 - 3 - 7 - 11 = -15.

- Если a = -2 и d = 3, то первые пять членов новой последовательности будут: -2, 1, 4, 7, 10

Сумма этих членов равна -2 + 1 + 4 + 7 + 10 = 20.

13. Мы видим, что только в случае, когда a = 10 и d = 1, сумма первых пяти членов новой последовательности