Question

Із точок А і В, що лежать у двох перпендикулярних площинах. Проведено перпендикуляри АC i BD до лінії перетину цих площин. Знайдіть довжину вiдрізка АС, якщо AD=5 см, СВ=2√10 см, BD = 2√6 см.(Якщо можна, з малюнком)​

Answer 1

Відповідь:     АС = 3 см .

Покрокове пояснення:

 Площина  α⊥β ;  АС⊥CD  i  BD⊥CD , тому  АС⊥β , а  BD⊥α .

 ΔBCD  i  ΔACD - прямокутні . Із прямок. ΔBCD  CD = √( BC²- BD² ) =

 = √[ ( 2√10 )² - ( 2√6 )² ] = √( 40 - 24 ) = √16 = 4 ( см ) .

 Із прямок. ΔACD   АС = √( AD² - CD² ) = √( 5² - 4² ) = √9 = 3 ( см ) ;

  АС = 3 см .

Answer 2

Щоб знайти довжину відрізка АС, спочатку потрібно з'ясувати положення точок С і D відносно лінії перетину площин.

Дано:

AD = 5 см
СВ = 2√10 см
BD = 2√6 см

Позначимо точку перетину цих площин як О.

Ми маємо дві перпендикулярні площини, тому утворена ними лінія перетину також є перпендикулярною до площини AB. Позначимо точку перетину лінії і площини AB як P і O відповідно.

Малюнок у документації немає, тому спробую описати положення точок словами.

Так як АС і BD - перпендикуляри до лінії OP, то точки С і D лежать у одній площині з AB. Ця площина перпендикулярна до ОР, а отже, С і D лежать на прямій, що перпендикулярна до AB.

Тепер можна скласти прямокутний трикутник ABP, трохи розширивши його.

Оскільки ABP - прямокутний трикутник, за теоремою Піфагора маємо:

AB^2 = AP^2 + BP^2

Знаходимо значення BP:
BP = BD - DP = 2√6 - AD = 2√6 - 5 см

Значення AP можна знайти за допомогою подібності трикутників:

AP/AD = BP/BC

Підставляємо відомі значення:

AP/5 = (2√6 - 5)/√10

Тепер розв'язуємо це рівняння відносно AP:

AP = (5(2√6 - 5))/√10

Тепер підставимо це значення в рівняння Піфагора:

AB^2 = (5(2√6 - 5))/√10)^2 + (2√6 - 5)^2

AB^2 = (25(24 - 20√6))/10 + (24 - 20√6) + (25(24 - 20√6))/10
AB^2 = 2(24 - 20√6) + 48 - 40√6 + 2(24 - 20√6)
AB^2 = 4(24 - 20√6)

AB^2 = 96 - 80√6

Знаходимо AB:

AB = √(96 - 80√6)

Довжину відрізка AC знайдемо за допомогою теореми Піфагора на основі отриманого значення AB:

AC^2 = AB^2 - BC^2

Запишемо відомі значення:

AC^2 = (96 - 80√6) - (2√10)^2
AC^2 = 96 - 80√6 - 40
AC^2 = 56 - 80√6

Отримали квадрат довжини відрізка AC, тому для знаходження самої довжини відрізка AC беремо корінь квадратний:

AC = √(56 - 80√6)

Таким чином, довжина відрізка AC дорівнює √(56 - 80√6) см.