Question

В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и CC1, которые равны пересекаются в точке О. Из точки B провели высоту BH. Найдите BH, если BO = 4. ​

Answer 1

Ответ:

6 ед. изм.

Пошаговое объяснение:

Если медианы треугольника равны, то данный треугольник - равнобедренный, АВ=ВС.

Тогда ВН - медиана и высота.

Медианы равнобедренного треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1. Значит, ВН:ОН=2:1.

ВО=4, значит ОН=2, а ВН=4+2=6 ед. изм.

Answer 2

Для нахождения длины высоты BH в треугольнике ABC, когда известно, что BO = 4, мы можем воспользоваться свойствами медиан и правильно применить теорему о медианах и их пересечении в точке О.

Медианы треугольника ABC делят друг друга в отношении 2:1. Это означает, что точка О делит медиану AA1 в отношении 2:1, то есть AO:OA1 = 2:1, и то же самое отношение верно для медианы CC1.

Известно, что BO = 4, и точка О делит медиану AA1 в отношении 2:1, поэтому можно записать:

AO = 2x, OA1 = x.

Точно так же, можно записать для медианы CC1:

CO = 2y, OC1 = y.

Теперь у нас есть два треугольника: ΔAOC и ΔBOH. Мы знаем, что медианы пересекаются в точке О. Так как медианы делятся в отношении 2:1, то мы можем записать:

AO = 2CO и OA1 = 2OC1.

С учетом этого, можно записать:

2x = 2y и x = y.

Теперь у нас есть информация о длинах сторон в треугольнике ΔBOH:

BO = 4, AO = 2x = 2y, OH = OA1 = x = y.

Мы знаем, что треугольник BOH - прямоугольный треугольник, поскольку высота перпендикулярна основанию. Таким образом, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

BO^2 = OH^2 + BH^2.

Подставив известные значения:

4^2 = x^2 + BH^2.

x = y, поэтому:

4^2 = x^2 + x^2, 16 = 2x^2.

Теперь найдем x:

2x^2 = 16, x^2 = 16 / 2, x^2 = 8, x = √8, x = 2√2.

Теперь мы можем найти BH, подставив значение x:

BH = x = 2√2.

Таким образом, длина высоты BH треугольника ABC равна 2√2.