Question

Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1 метр.

Answer 1

Ответ:

1 способ

рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 2013, вершины 3 а цвета два, по принципу Дирихле, какие-то две вершины будут одного цвета

2 способ

Проведем окружность радиуса 2013 если на окружности есть точка такого же цвета, что и центр, то соединим и получим нужное. если нет, т.е. вся окружность одного цвета, то на ней берем точки на расстоянии 2013

Answer 2

Доказательство того, что на плоскости, раскрашенной в два цвета, можно найти две точки одного цвета, находящиеся на расстоянии 1 метр, можно представить следующим образом:

1. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1 метр. У него три вершины, а цветов, в которые раскрашена плоскость, два. Поэтому хотя бы две вершины этого треугольника покрашены в один цвет. Эти две вершины и являются нужными нам точками .

2. Если расстояние между двумя точками в треугольнике меньше 1 метра, мы можем построить равнобедренный треугольник с боковой стороной 1 метр, у которого этот маленький отрезок будет основанием. Получилась ломаная, концы которой покрашены в разные цвета, поэтому найдутся две соседние вершины также покрашенные в один цвет .

Таким образом, на плоскости, раскрашенной в два цвета, всегда можно найти две точки одного цвета, находящиеся на расстоянии 1 метр.