Question

На окружности с диаметром MN, равным 34, взята точка K на расстоянии 15 от этого диаметра. Хорда KE пересекает диаметр MN в точке F под углом, равным arccos4/5 а)Докажите,что KF:FE=125:29. б) Найдите площадь треугольника KEN.

Answer 1

Ответ:

Площадь треугольника  Δ KEN  равна 8,7 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

На рисунке Δ MKN  - прямоугольный, так как ∠ MKN  опирается на диаметр MN .

По условию  MN= 34 ед. , KH = 15 ед.,   α=arccos 4/5.

Угол α - острый.

KH - высота прямоугольного треугольника Δ MKN  .

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза основанием высоты.

$KH=\sqrt{MH\cdot HN}$

Пусть  MH = x. Тогда HN= 34-x

$\sqrt{x\cdot(34-x)} =15;\\34x-x^{2} =15^{2} ;\\x^{2} -34x+225=0;\\D{_1}= (-17) ^{2}-225=289-225=64=8^{2} ;\\x{_1}=17-8=9;\\x{_2}= 17+8=25$

MH= 9 ед. , HN= 34-9=25 ед.

Если  α=arccos 4/5, то cos α =4/5

Воспользуемся формулой и найдем тангенс этого угла

$1+tg^{2} \alpha =\dfrac{1}{cos^{2} \alpha } ;\\\\1+tg^{2} \alpha=\dfrac{1}{\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2} } ;\\\\1+tg^{2} \alpha=\dfrac{25}{16} ;\\\\tg^{2} \alpha=\dfrac{25}{16}-1;\\\\tg^{2} \alpha=\dfrac{9}{16};\\\\tg\alpha =\dfrac{3}{4}$

Так как угол острый, то тангенс положителен.

Рассмотрим ΔKNF - прямоугольный

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

$tg\alpha =\dfrac{KH}{HF} ;\\\\\dfrac{3}{4} =\dfrac{15}{HF};\\\\HF=\dfrac{15\cdot 4}{3} =\dfrac{5\cdot4}{1} =20$

FN= HN- HF= 25-20 = 5 ед .

В ΔKNF- прямоугольном найдем гипотенузу по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов .

$KF^{2} =KH^{2} +HF^{2};\\KF= \sqrt{KH^{2} +HF^{2}} ;\\KF= \sqrt{15^{2}+20^{2} } =\sqrt{225+400} =\sqrt{625} =25$

Рассмотрим хорды MN  и KE . Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды .

$MF\cdot FN=KF\cdot FE;\\\\FE= \dfrac{MF\cdot FN}{KF} ;\\\\FE= \dfrac{29\cdot 5}{25} =\dfrac{29}{5}$

Найдем отношение

$KF: FE= 25: \dfrac{29}{5} =25\cdot \dfrac{5}{29} =\dfrac{25\cdot5}{29} =\dfrac{125}{29}$

Что и требовалось доказать.

б)  Найдем площадь  треугольника Δ KEN по формуле

$S= \dfrac{1}{2} \cdot a\cdot b \cdot sin \alpha$

где a и b - стороны треугольника, α - угол между ними.

∠FNE = ∠ KFM = α ( равны как вертикальные )

Найдем синус угла. Так как

$tg\alpha =\dfrac{sin\alpha }{cos\alpha } ;\\\\sin\alpha =tg\alpha \cdot cos\alpha ;\\\\sin\alpha =\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{5} =\dfrac{3}{5}$

Тогда площадь треугольника

$S= \dfrac{1}{2} \cdot FN\cdot FE \cdot sin\alpha ;\\\\S= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{29}{5} \cdot 5 \cdot \dfrac{3}{5} =\dfrac{87}{10} =8,7$

Площадь треугольника  Δ KEN  равна 8,7 кв. ед.

Answer 2

а) Для доказательства того, что KF:FE = 125:29, давайте воспользуемся теоремой синусов в треугольнике KFE.

Теорема синусов утверждает, что в любом треугольнике отношение длин сторон к синусам их противолежащих углов одинаково для всех трех сторон. В данном случае, у нас есть угол FKE (под которым лежит сторона KF) и угол KEF (под которым лежит сторона FE).

Мы знаем, что угол FKE равен arccos(4/5), и мы можем найти угол KEF, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов:

KEF = 180° - arccos(4/5).

Теперь мы можем применить теорему синусов:

KF / sin(KEF) = FE / sin(FKE).

KF / sin(180° - arccos(4/5)) = FE / sin(arccos(4/5)).

Теперь давайте найдем значения синусов углов с помощью тригонометрических идентичностей:

sin(180° - θ) = sin(θ), sin(θ) = √(1 - cos^2(θ)).

Таким образом:

KF / sin(arccos(4/5)) = FE / √(1 - (4/5)^2).

KF / sin(arccos(4/5)) = FE / √(1 - 16/25).

KF / sin(arccos(4/5)) = FE / √(9/25).

KF / sin(arccos(4/5)) = FE / (3/5).

Теперь умножим обе стороны на sin(arccos(4/5)):

KF = FE * (sin(arccos(4/5)) / (3/5)).

KF = FE * (5/3) * sin(arccos(4/5)).

KF = FE * (5/3) * (3/5).

KF = FE.

Таким образом, KF = FE. Следовательно, KF:FE = 1:1.

б) Теперь, чтобы найти площадь треугольника KEN, давайте воспользуемся формулой площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника KEN = √[p * (p - KE) * (p - EN) * (p - NK)],

где p - полупериметр треугольника, KE, EN и NK - длины сторон треугольника.

Мы уже знаем, что KF = FE, и угол FKE равен arccos(4/5). Так как NK - это диаметр окружности MN, то NK = 34. Теперь нам нужно найти длины KE и EN.

Используем закон косинусов в треугольнике KFE:

KE^2 = KF^2 + FE^2 - 2 * KF * FE * cos(FKE).

KE^2 = FE^2 + FE^2 - 2 * FE^2 * cos(arccos(4/5)).

KE^2 = 2 * FE^2 - 2 * FE^2 * (4/5).

KE^2 = 2 * FE^2 * (1 - 4/5).

KE^2 = 2 * FE^2 * (1/5).

KE = FE * √(2/5).

Аналогично, мы можем найти EN:

EN^2 = EF^2 + FN^2 - 2 * EF * FN * cos(FEN).

EN^2 = FE^2 + FN^2 - 2 * FE * FN * cos(180° - FKE).

EN^2 = FE^2 + FN^2 + 2 * FE * FN * cos(FKE).

EN^2 = FE^2 + FN^2 + 2 * FE * FN * (4/5).

EN^2 = FE^2 + FN^2 + (8/5) * FE * FN.

EN = FE * √(1 + 8/5).

EN = FE * √(13/5).

Теперь мы можем найти полупериметр треугольника KEN:

p = (KE + EN + NK) / 2, p = (FE * √(2/5) + FE * √(13/5) + 34) / 2, p = (FE/2) * (√(2/5) + √(13/5) + 34).

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника KEN:

Площадь треугольника KEN = √[p * (p - KE) * (p - EN) * (p - NK)], Площадь треугольника KEN = √[((FE/2) * (√(2/5) + √(13/5) + 34)) * (FE * √(2/5)) * (FE * √(13/5)) * (FE/2)], Площадь треугольника KEN = √[FE^2 * (√(2/5) + √(13/5) + 34) * √(2/5) * √(13/5) * √(2/5) * √(13/5) * 1/4], Площадь треугольника KEN = FE^2 * (√(2/5) + √(13/5) + 34) * 1/4, Площадь треугольника KEN = (FE^2 / 4) * (√(2/5) + √(13/5) + 34).

Теперь мы можем найти FE^2, используя тот факт, что KF:FE = 1:1:

KF + FE = KE, FE + FE