Question

z=x^2-2y^3-2x+6y дослідити на екстремум функції. Треба дуже детальний розв'язок. (Вища математика) Треба терміново! Будь ласка! ​

Answer 1

Спочатку знаходимо першу похідну.

z произв. за x^2-2y^3-2x+6y, z произв. по у =3y^2-6х.

Знаходимо критичні точки: zпроізв. за х=0, zпроіз. по у=0. Вирішимо систему:

х^2-2у=0, у^2-2х=0. (0;0), (2;2) -крит. точка.

Досліджуємо (2; 2). Знаходимо другі похідні: z "по х, х=6х; z"По х,у=-6; z" По у,у=6У. підставляючи х=2, у=2 знаходимо коефіцієнти А=12, В=-6, С=12.

Обчислимо визначник: перший рядок а в, другий рядок В С, він дорівнює 144-36>0. Значить, в цій точці є екстремум. Оскільки а>0, то він min.

zmin(2;2)=8+8-24=-8.

Відповідь. (2,2) - точка min, z min=-8

Answer 2

Щоб дослідити функцію на екстремум, спочатку знайдемо її похідні за змінними x та y. Для цього використаємо правила диференціювання.

Знайдемо часткові похідні функції z відносно x та y:

∂z/∂x = 2x - 2, ∂z/∂y = -6y^2 + 6.

Далі знайдемо критичні точки, тобто точки, в яких обидві часткові похідні дорівнюють нулю:

2x - 2 = 0, -6y^2 + 6 = 0.

Розв'яжемо систему рівнянь:

2x = 2, x = 1.

-6y^2 = -6, y^2 = 1, y = ±1.

Таким чином, маємо дві критичні точки: (1, 1) та (1, -1).

Для визначення типу критичної точки використаємо матрицю Гессе. Знайдемо часткові похідні другого порядку:

∂²z/∂x² = 2, ∂²z/∂y² = -12y, ∂²z/∂x∂y = 0.

Підставимо значення критичних точок:

(1, 1): ∂²z/∂x² = 2, ∂²z/∂y² = -12, ∂²z/∂x∂y = 0, (1, -1): ∂²z/∂x² = 2, ∂²z/∂y² = 12, ∂²z/∂x∂y = 0.

Матриця Гессе для критичної точки (1, 1):

H = | 2 0 | | 0 -12 |

Визначник матриці Гессе D = 2*(-12) = -24, а отже, D < 0. Тому, за критерієм Сильвестра, у точці (1, 1) функція має максимум.

Матриця Гессе для критичної точки (1, -1):

H = | 2 0 | | 0 12 |

Визначник матриці Гессе D = 2*12 = 24, а отже, D > 0. Також, ∂²z/∂x² = 2 > 0. Тому, за критерієм Сильвестра, у точці (1, -1) функція має мінімум.

Отже, функція z = x^2 - 2y^3 - 2x + 6y має максимум у точці (1, 1) та мінімум у точці (1, -1).

Answer 3

Для дослідження екстремумів функції звичайно використовується метод найбільшого/найменшого значення. Цей метод базується на наступних кроках:

1. Знайдіть часткові похідні функції по відношенню до x та y. 2. Розв'яжіть систему рівнянь, що утворюється, прирівнюючи часткові похідні до нуля. 3. Перевірте точки, отримані на попередньому кроці, на умови задачі.

Почнемо з першого кроку. Функція, яку вам дали, є f(x, y) = x^2 - 2y^3 - 2x + 6y. Ми повинні знайти її часткові похідні по відношенню до x та y:

∂f/∂x = 2x - 2 ∂f/∂y = -6y^2 + 6y

Прирівнюємо ці похідні до нуля і розв'язуємо систему рівнянь:

2x - 2 = 0 -6y^2 + 6y = 0

Рішення першого рівняння дає x = 1. Підставляючи це в друге рівняння, ми отримуємо y = 1 або y = 0.

Тепер перевіримо ці точки на умови задачі. Умова задачі не вказана, але якщо ми говоримо про екстремуми на замкнутій області, то ми повинні перевірити ці точки на входження в цю область.

Отже, точка (1, 1) є кандидатом на екстремум функції. Для остаточної перевірки ми можемо використати другу похідну. Якщо вона від'ємна в даній точці, то ця точка є мінімумом, якщо вона додатна - це максимум. Друга похідна для нашої функції можна знайти так:

∂²f/∂x² = 2 ∂²f/∂y² = -6y ∂²f/∂x∂y = -6y ∂²f/∂y∂x = -6y

Підставляємо x = 1, y = 1 в цю функцію і отримуємо другу похідну:

∂²f/∂x² = 2 ∂²f/∂y² = -6 ∂²f/∂x∂y = -6 ∂²f/∂y∂x = -6

Якщо всі ці значення від'ємні, то (1, 1) є мінімумом функції. Якщо хоча б одне з них додатне, то (1, 1) є максимумом.

Цей процес є загальним підходом до дослідження екстремумів функцій з двома змінними.