Question

треугольники ABC и A1B1C1 подобны, найдите их периметры если Sabc =180см2, Sa1b1c1= 80см2, Pabc - Pa1b1c1 =85см​

Answer 1

Ответ:

170 см и 255 см.

Пошаговое объяснение:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

180 см² / 80 см² = 2,25.

Коэффициент подобия равен $\sqrt{2,25} =1,5$.

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Пусть периметр треугольника авс равен х см, тогда периметр треугольника а1в1с1 равен (х-85) см. Так как коэффициент подобия треугольников равен 1,5, то составим уравнение:

$\frac{x}{x-85}=1,5$

$\frac{x}{x-85}=\frac{15}{10}$

Решаем пропорцию:

$10x=15(x-85)$

$10x=15x-85*15\\15x-10x=85*15\\5x=85*15\\x=85*3\\x=255$

Так как х=255, то х-85=255-85=170.

Answer 2

Периметр треугольника вычисляется по формуле P = a + b + c, где a, b и c - длины сторон треугольника. Дано, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны друг другу. То есть соответствующие стороны треугольников пропорциональны, то есть отношение длин соответствующих сторон равно. Обозначим эти отношения как k.

Пусть a, b и c - длины сторон треугольника ABC, а a1, b1 и c1 - длины соответствующих сторон треугольника A1B1C1.

Тогда верно следующее:

a1 = k * a (1) b1 = k * b (2) c1 = k * c (3)

Дано также, что площади треугольников равны: S_ABC = 180 см² и S_A1B1C1 = 80 см².

Площадь треугольника вычисляется по формуле S = (p * r) / 2, где p - периметр треугольника, r - радиус вписанной окружности. Так как площадь и периметр вписанной окружности треугольника пропорциональны площади и периметру самого треугольника, то можно записать следующие пропорции:

(p_ABC / p_A1B1C1) = sqrt(S_ABC / S_A1B1C1) (p_ABC / p_A1B1C1) = sqrt(180 / 80) (p_ABC / p_A1B1C1) = sqrt(2.25) (p_ABC / p_A1B1C1) = 1.5

Известно также, что разность периметров треугольников ABC и A1B1C1 равна 85 см:

p_ABC - p_A1B1C1 = 85 (4)

Из уравнений (1), (2) и (3) можно выразить длины сторон треугольника ABC через длины сторон треугольника A1B1C1:

a = a1 / k (5) b = b1 / k (6) c = c1 / k (7)

Подставим выражения (5), (6) и (7) в уравнение (4):

(a1 / k + b1 / k + c1 / k) - (a1 + b1 + c1) = 85

(a1 + b1 + c1) / k - (a1 + b1 + c1) = 85

(a1 + b1 + c1) * (1 / k - 1) = 85

(a1 + b1 + c1) * ((1 - k) / k) = 85

(a1 + b1 + c1) = 85 * (k / (1 - k))

Теперь подставим полученное значение (a1 + b1 + c1) в уравнение (4):

85 * (k / (1 - k)) = 85

k / (1 - k) = 1

k = 1 - k

2k = 1

k = 1/2

Теперь можем выразить длины сторон треугольника ABC через длины сторон треугольника A1B1C1:

a = a1 / k = a1 / (1/2) = 2 * a1 b = b1 / k = b1 / (1/2) = 2 * b1 c = c1 / k = c1 / (1/2) = 2 * c1

Теперь найдем периметры треугольников ABC и A1B1C1:

P_ABC = a + b + c = 2 * a1 + 2 * b1 + 2 * c1 = 2 * (a1 + b1 + c1) P_A1B1C1 = a1 + b1 + c1

Из уравнения (3) замечаем, что a1 + b1 + c1 = k * (a + b + c) = 1 * (a + b + c) = a + b + c То есть периметры треугольников ABC и A1B1C1 равны:

P_ABC = P_A1B1C1 = a + b + c = a1 + b1 + c1

Поэтому периметры треугольников ABC и A1B1C1 равны: a + b + c = a1 + b1 + c1.