Question

Найти дифференциал функции y=x-3/x y=(x-5)(x+2) y=e^-x y=sin5x y=ln cos x

Answer 1

Ответ:

$1)y = x - \frac{3}{x} = x - 3 {x}^{ - 1}$

$y' = 1 + 3 {x}^{ - 2} = 1 + \frac{3}{ {x}^{2} }$

$dy = (1 + \frac{3}{ {x}^{2} } )dx$

$2)y = (x - 5)(x + 2) = {x}^{2} - 5x + 2x - 10 = \\ = {x}^{2} - 3x - 10$

$y '= 2x - 3 \\ dy = (2x - 3)dx$

$3)y = {e}^{ - x}$

$y '= - {e}^{ - x} \\ dy = - {e}^{ - x} dx$

$4)y = \sin(5x)$

$y' = 5 \cos(5x) \\ dy = 5 \cos(5x) dx$

$5)y = ln( \cos(x) )$

$y '= \frac{1}{ \cos(x) } \times ( - \sin(x)) = - tg(x)$

$dy = - tg(x)dx$

Answer 2

Давайте поочередно найдем дифференциалы для каждой из данных функций.

1. y = x - 3/x Дифференцируем данную функцию по x: dy/dx = d/dx(x) - d/dx(3/x)

Первое слагаемое: d/dx(x) = 1 Второе слагаемое: d/dx(3/x) = -3/x^2

Теперь объединим оба слагаемых: dy/dx = 1 - 3/x^2

2. y = (x - 5)(x + 2) Дифференцируем данную функцию по x, используя правило произведения (производная произведения двух функций равна произведению производных):

dy/dx = d/dx((x - 5)(x + 2))

Первая функция: x - 5 Производная первой функции: d/dx(x - 5) = 1

Вторая функция: x + 2 Производная второй функции: d/dx(x + 2) = 1

Теперь умножим производные на соответствующие функции и сложим их: dy/dx = (1)(x + 2) + (x - 5)(1) = x + 2 + x - 5 = 2x - 3

3. y = e^-x Дифференцируем данную функцию по x, используя производную экспоненты:

dy/dx = d/dx(e^-x)

Производная экспоненты e^u равна -e^u, где u - это функция, в данном случае, u = -x. Таким образом:

dy/dx = -e^-x

4. y = sin(5x) Дифференцируем данную функцию по x, используя производную синуса:

dy/dx = d/dx(sin(5x))

Производная sin(u) равна cos(u), где u - это функция, в данном случае, u = 5x. Таким образом:

dy/dx = cos(5x)

5. y = ln(cos(x)) Дифференцируем данную функцию по x, используя производную натурального логарифма и производную косинуса:

dy/dx = d/dx(ln(cos(x))

Производная ln(u) равна 1/u, где u - это функция, в данном случае, u = cos(x). Производная cos(x) равна -sin(x). Таким образом:

dy/dx = 1/cos(x) * (-sin(x)) = -sin(x)/cos(x) = -tan(x)

Таким образом, мы нашли дифференциалы для всех пяти данных функций: 1. dy/dx = 1 - 3/x^2 2. dy/dx = 2x - 3 3. dy/dx = -e^-x 4. dy/dx = cos(5x) 5. dy/dx = -tan(x)