Question

Вычислите частные производные первого и второго порядков: для функции z=e^xy(x^2+y^2)найти dz/dx; dz/dy

Answer 1

Ответ:

$z = {e}^{xy} ( {x}^{2} + {y}^{2} )$

$\frac{dz}{dx} = {e}^{xy} \times y( {x}^{2} + {y}^{2} ) + 2x {e}^{xy} = \\ = {e}^{xy} ( {x}^{2} y + {y}^{3} + 2x)$

$\frac{dz}{dy} = {e}^{xy} \times x( {x}^{2} + {y}^{2} ) + 2y {e}^{xy} = \\ = {e}^{xy} ( {x}^{3} + x {y}^{2} + 2y)$

$\frac{ {d}^{2} z}{ {dx}^{2} } = {e}^{xy} \times y( {x}^{2} y + {y}^{3} + 2x) + (2xy + 2) {e}^{xy} = \\ = {e}^{xy} ( {x}^{2} {y}^{2} + {y}^{4} + 2xy + 2xy + 2) = \\ = {e}^{xy} ( {y}^{x} + {x}^{2} {y}^{2} + 4 xy + 2)$

$\frac{ {d}^{2} z}{ {dy}^{2} } = {e}^{xy} \times x( {x}^{3} + x {y}^{2} + 2y) + {e}^{xy} (2xy + 2) = \\ = {e}^{xy} ( {x}^{4} + {x}^{2} {y}^{2} + 2xy + 2xy + 2) = \\ = {e}^{xy} ( {x}^{4} + {x}^{2} {y}^{2} + 4xy + 2)$

$\frac{ {d}^{2} z}{dxdy} = \frac{ {d}^{2}z }{dydx} = {e}^{xy} \times x( {x}^{2} y + {y}^{3} + 2x) + {e}^{xy} ( {x}^{2} + 3 {y}^{2} ) = \\ = {e}^{xy} ( {x}^{3} y + {y}^{3} x + 2 {x}^{2} + {x}^{2} + 3 {y}^{2} ) = \\ = {e}^{xy} ( {y}^{3} x + {x}^{3} y + 3 {x}^{2} + 3 {y}^{2} )$

Answer 2

Для вычисления частных производных первого порядка функции z = e^(xy)(x^2 + y^2), нам понадобятся правила дифференцирования для сложной функции и произведения функций.

dz/dx: Для вычисления dz/dx, мы будем дифференцировать функцию по переменной x, считая y константой. Используем правило дифференцирования для сложной функции и произведения функций.

Итак, сначала возьмем производную по x от сложной функции e^(xy): (d/dx) e^(xy) = y*e^(xy)

Затем возьмем производную по x от произведения функций (x^2 + y^2): (d/dx) (x^2 + y^2) = 2x

Теперь умножим эти две части исходной функции: dz/dx = (y*e^(xy))(x^2 + y^2) + e^(xy)(2x)

Таким образом, частная производная первого порядка dz/dx равна (y*e^(xy))(x^2 + y^2) + e^(xy)(2x).

dz/dy: Для вычисления dz/dy, мы будем дифференцировать функцию по переменной y, считая x константой. Используем такие же правила дифференцирования, как и в случае dz/dx.

Итак, сначала возьмем производную по y от сложной функции e^(xy): (d/dy) e^(xy) = x*e^(xy)

Затем возьмем производную по y от произведения функций (x^2 + y^2): (d/dy) (x^2 + y^2) = 2y

Теперь умножим эти две части исходной функции: dz/dy = (x*e^(xy))(x^2 + y^2) + e^(xy)(2y)

Таким образом, частная производная первого порядка dz/dy равна (x*e^(xy))(x^2 + y^2) + e^(xy)(2y).

Для вычисления частных производных второго порядка, мы должны взять производные от полученных частных производных первого порядка по соответствующим переменным.

d^2z/dx^2: Для вычисления d^2z/dx^2 мы берем производную dz/dx по x.

Продифференцируем значением dz/dx, которое мы уже вычислили: (d/dx) [(y*e^(xy))(x^2 + y^2) + e^(xy)(2x)] = (y*e^(xy))(2x) + (yx^2 + y^3)*e^(xy) + (2e^(xy))

Таким образом, частная производная второго порядка d^2z/dx^2 равна (y*e^(xy))(2x) + (yx^2 + y^3)*e^(xy) + (2e^(xy)).

d^2z/dy^2: Для вычисления d^2z/dy^2 мы берем производную dz/dy по y.

Продифференцируем значением dz/dy, которое мы уже вычислили: (d/dy) [(x*e^(xy))(x^2 + y^2) + e^(xy)(2y)] = (x*e^(xy))(2y) + (x^3 + xy^2)*e^(xy) + 2e^(xy)

Таким образом, частная производная второго порядка d^2z/dy^2 равна (x*e^(xy))(2y) + (x^3 + xy^2)*e^(xy) + 2e^(xy).

Таким образом, мы вычислили частные производные первого и второго порядков для функции z = e^(xy)(x^2 + y^2).