Question

Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 зашитников и 10 нападающий. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух зашитников и трех нападающих?

Answer 1

Ответ:

5040

Пошаговое объяснение:

Это задача из раздела комбинаторики.

1. Вратари

Из двух вратарей нам надо выбрать одного.

Это можно сделать двумя способами - либо один, либо другой.

2. Защитники

Из семи защитников нам надо выбрать 2. Причем порядок элементов в выборке нас не интересует - т.е. у нас неупорядоченная выборка из  n элементов по  m элементов. Такая выборка называется сочетания.

Число сочетаний из n элементов по m считается по формуле

$\displaystyle \boldsymbol { C_n^m=\frac{n!}{m!*(n-m)!} }$

Теперь посчитаем, сколькими способами можно выбирать защитников

$\displaystyle \boldsymbol { C_7^2=\frac{7!}{2!*(7-2)!} }=\frac{7!}{2"*5!}= \frac{6*7} {1*2} =\frac{42}{2} =21$ (способ)

2. Нападающие

Из 10 нападающих выбираем 3.

$\displaystyle C_{10}^3=\frac{10!}{3!*(10-3)!} = \frac{10!}{3!*7!} =\frac{8*9*10}{1*2*3} =120$    (способов)

И вот теперь применим правило умножения.

• если элемент A можно выбрать n способами, и при любом выборе A элемент B можно выбрать m способами, то пару A и B можно выбрать n*m способами.

У нас, правда, не пара, а тройка элементов, но правила это не меняет.

Итак, считаем сколькими способами тренер может выбрать стартовую шестерку

$2 *21*120 = 5040$  (способами)

ответ

тренер может выбрать стартовую шестерку 5040 способами

Answer 2

Для определения количества способов тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих, мы будем использовать комбинаторику.

Сначала определим количество способов выбрать вратаря из 2 вратарей. Так как выбор вратаря не зависит от выбора других игроков, то это будет просто количество элементов в множестве вратарей, то есть 2.

Затем определим количество способов выбрать двух защитников из 7 защитников. Для этого мы будем использовать формулу сочетаний. Количество сочетаний из n элементов по k элементов равно n! / (k! * (n-k)!), где ! обозначает факториал. В данном случае n = 7 (количество защитников) и k = 2 (количество выбираемых защитников). Подставим значения в формулу:

C(7, 2) = 7! / (2! * (7-2)!) = 7! / (2! * 5!) = (7 * 6 * 5!) / (2! * 5!) = (7 * 6) / 2! = 7 * 6 / 2 = 21.

Теперь определим количество способов выбрать трех нападающих из 10 нападающих, используя ту же формулу сочетаний:

C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8 * 7!) / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / 3! = 10 * 3 * 8 = 240.

Наконец, чтобы определить количество способов образовать стартовую шестерку, мы перемножаем количество способов выбрать вратаря, защитников и нападающих:

2 * 21 * 240 = 10080.

Таким образом, тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих, 10080 способами.