Question

КОМБИНАТОРИКА 1) Сколько существует различных положений, в которых могут оказываться восемь переключателей, если каждый из них может быть включен или выключен? 2) В составе сборной России по футболу 2 вратаря, 5 защитников, 6 полузащитников и 6 нападающих. Сколькими способами тренер может выставить на поле команду, в которую входит вратарь, 3 защитника, 4 полузащитника и 3 нападающих?

Answer 1

Первая задача 
Размещения 8 разных предметов. Таких вариантов = 8! = 40320.
Вторая задача
Всего футболистов = 2+5+6+6 =21 чел.
Собираем команду
С2(1)=   2 варианта - один вратарь из двух
С5(3) =  5*4*3 / (1*2*3) 10 вариантов -  защитники
С6(4) =  6*5*4*3 / (1*2*3*4) = 15 вариантов - полузащитники
С6(3) =  6*5*4 / (1*2*3) = 20 вариантов - нападающие
Всего таких способов собрать команду - произведение 
N = 2*10*15*20 =6000 вариантов

Answer 2

Combinatorics

1) Number of Different Positions for Eight Switches: There are 8 switches, and each can be either on or off. The total number of different positions for the switches can be calculated using the formula 2^n, where n is the number of switches. Therefore, the number of different positions for the eight switches is 2^8.

Answer: The number of different positions for the eight switches is 256.

[[1 #]]

2) Ways to Form a Football Team: The coach needs to select 1 goalkeeper from 2, 3 defenders from 5, 4 midfielders from 6, and 3 forwards from 6. The number of ways to form the team is calculated using the combination formula, which is denoted as C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!), where n is the total number of items, and r is the number of items to be chosen.

Answer: The number of ways the coach can form the team is C(2, 1) * C(5, 3) * C(6, 4) * C(6, 3).

Let's calculate this: C(2, 1) = 2, C(5, 3) = 10, C(6, 4) = 15, C(6, 3) = 20.

So, the total number of ways the coach can form the team is 2 * 10 * 15 * 20.

Answer: The coach can form the team in 6,000 different ways.

[[2 #]]