Question

Найдите объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=x2, x=0 и x=1, y=0 вокруг оси абсцисс ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y=x², x₁=0 и x₂=1, y=0 вокруг оси абсцисс

​$V = \pi \int\limits^{x_2}_{x_1} {(y_1-y_2} )^2\, dx$

сначала рисуем графики и сразу видим, что у нас получается "воронка"

у₁ = х²;  у₂ = 0

итак, считаем определенный интеграл

$V = \pi \int\limits^1_0 {(x^2-0)^2} \, dx = \frac{x^5}{5} I_0^1 = \frac{\pi }{5}$

Answer 2

Ответ:

$\frac{\pi }{5}$  кубических единиц

Пошаговое объяснение:

Надо посчитать тройной интеграл. (чтобы не помнить никаких других формул)

пределы интегрирования:

y изменяется от 0 до $x^{2}$;

x изменяется от 0 до 1;

угол поворота α меняется от 0 до 2π (полный поворот)

$></p><p></p> </div> <div class=$ 0 0

Answer 3

Объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, можно вычислить с помощью метода интегрирования. В данном случае, трапеция ограничена кривой y = x^2, x = 0 и x = 1, y = 0.

Сначала, нужно определить функции, описывающие верхнюю и нижнюю границы трапеции. Верхняя граница определяется уравнением y = x^2, а нижняя граница - линией y = 0.

Объем тела вращения вычисляется по формуле:

V = ∫(from a to b) [f(x)]^2 dx

где f(x) - функция, описывающая кривую, вокруг которой происходит вращение, a и b - пределы интегрирования по оси x, то есть диапазон значений x, за который происходит вращение.

В данном случае, a = 0, b = 1, f(x) = x^2. Подставляем эти значения в формулу и получаем:

V = ∫(from 0 to 1) [x^2]^2 dx

Выполняем интегрирование:

V = ∫(from 0 to 1) x^4 dx

Интегрируем по части:

V = [x^5 / 5] (from 0 to 1)

V = (1^5 / 5) - (0^5 / 5)

V = 1/5

Таким образом, объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, равен 1/5 , , , .