Question

Продемонстрировав умение решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности, найдите объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = x, x = 1 и x = 3, y = 0 вокруг оси абсцисс

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

сделаем чертеж и сразу увидим, что при вращении получается усеченный конус - вращается прямая y = x, х изменяется от 1 до 3

объем считаем по формуле

$V =\pi \int\limits^{x_2}_{x_1} {(y(x))^2} \, dx$

в нашем случае

$V =\pi \int\limits^{3}_{1} {x^2} \, dx=\pi \frac{x^3}{3} I_1^3=\pi \frac{3^}{3} -\pi \frac{1^3}{3} =\frac{26\pi }{3}$

Answer 2

Для нахождения объема фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек.

Сначала давайте определим уравнение криволинейной трапеции. Она ограничена линиями y = x, x = 1 и x = 3, y = 0. Это означает, что верхняя граница криволинейной трапеции - y = x, а нижняя граница - y = 0.

Поэтому у нас есть следующая функция для границы фигуры: y = x (верхняя граница) y = 0 (нижняя граница)

Теперь мы будем вращать эту фигуру вокруг оси абсцисс (y = 0). Объем каждой цилиндрической оболочки можно найти по формуле: V = π * ∫(from a to b) [f(x)]^2 dx

где f(x) - расстояние от точки (x, y) до оси вращения (y = 0), то есть f(x) = x.

Интегрируя это от a до b (от 1 до 3), мы получим объем всей фигуры: V = π * ∫(1 to 3) x^2 dx

Вычислим этот интеграл: V = π * [(x^3)/3] |(от 1 до 3) V = π * [(3^3/3) - (1^3/3)] V = π * [(27/3) - (1/3)] V = π * [(26/3)]

Теперь вычислим значение объема: V = (26/3) * π

Ответ: Объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = x, x = 1 и x = 3, y = 0 вокруг оси абсцисс, равен (26/3) * π.