Question

Доказать, что существует бесконечно много троек натуральных чисел (x,y,z), таких, что x^2–1 делится на y, y^2–1 делится на z и z^2–1 делится на х.

Answer 1

Можно заметить, что $0$ кратен любому целому числу. Тогда в качестве $z$ возьмем $1$. Если положить $y = x + 1$, то понятно, что $x^2 - 1$ делится на $y$.

Значит, тройки вида $(x, x+1, 1), x \in \mathbb{N}$ удовлетворяют условиям, а их множество бесконечно, что доказывает утверждение.

Answer 2

Предположим, что существует конечное число троек натуральных чисел (x,y,z), удовлетворяющих условию x^2-1 делится на y, y^2-1 делится на z и z^2-1 делится на x.

Пусть M=max{x, y, z}. Рассмотрим третье неравенство z^2-1 делится на x. Так как M является максимальным числом, то M^2-1 делится на M, что можно записать в виде M^2≡1 (mod M). По малой теореме Ферма получаем, что M^M-1 ≡ M(M^2-1) ≡ M*1 ≡ M (mod M), т.е. M^M-1-1 делится на M.

Пусть теперь M^M-1-1 делится на x. Рассмотрим первое неравенство x^2-1 делится на y. Снова, так как M является максимальным числом, получаем M^2-1 делится на M, что можно записать в виде M^2 ≡ 1 (mod M). По малой теореме Ферма получаем M^(M-1) ≡ M(M^2-1) ≡ M*1 ≡ M (mod M), т.е. M^(M-1)-1 делится на M. То есть x делится на M.

Аналогичными рассуждениями можно получить, что y и z также делятся на M.

Таким образом, получаем, что x, y и z делятся на M, что противоречит предположению о максимальности M.

Таким образом, мы получили противоречие с предположением о существовании конечного числа троек натуральных чисел, удовлетворяющих условию. Значит, существует бесконечно много таких троек натуральных чисел (x,y,z).