Question

Найти все частные производные второго порядка z=arcsin(xy)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

В документе все расписано

Answer 2

Давайте найдем все частные производные второго порядка функции z = arcsin(xy). Для этого мы начнем с вычисления частных производных первого порядка, а затем найдем частные производные второго порядка.

Функция z = arcsin(xy) представляет собой суперпозицию функций, и чтобы найти ее частные производные, нам нужно использовать правило цепи (chain rule).

Первые частные производные:

1. Частная производная по x (первого порядка): ∂z/∂x = ∂(arcsin(xy))/∂x

Используем правило цепи: ∂z/∂x = (1/√(1 - (xy)^2)) * (y)

2. Частная производная по y (первого порядка): ∂z/∂y = ∂(arcsin(xy))/∂y

Используем правило цепи: ∂z/∂y = (1/√(1 - (xy)^2)) * (x)

Теперь найдем частные производные второго порядка, используя результаты частных производных первого порядка:

3. Частная производная второго порядка по x (по x): ∂²z/∂x² = ∂(∂z/∂x)/∂x ∂²z/∂x² = ∂((1/√(1 - (xy)^2)) * (y))/∂x

Для этой частной производной нужно применить правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования сложной функции:

∂²z/∂x² = (-2xy) / ((1 - (xy)^2)^(3/2))

4. Частная производная второго порядка по y (по y): ∂²z/∂y² = ∂(∂z/∂y)/∂y ∂²z/∂y² = ∂((1/√(1 - (xy)^2)) * (x))/∂y

Так же, как и в предыдущем случае, применяем правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования сложной функции:

∂²z/∂y² = (-2xy) / ((1 - (xy)^2)^(3/2))

5. Частная производная второго порядка по x и y (смешанная производная): ∂²z/∂x∂y = ∂(∂z/∂x)/∂y ∂²z/∂x∂y = ∂((1/√(1 - (xy)^2)) * (y))/∂y

Опять же, используем правило дифференцирования произведения и правило дифференцирования сложной функции:

∂²z/∂x∂y = (1 - (xy)^2) / ((1 - (xy)^2)^(3/2)) ∂²z/∂x∂y = 1 / √(1 - (xy)^2)

Итак, мы нашли все частные производные второго порядка для функции z = arcsin(xy):

∂²z/∂x² = (-2xy) / ((1 - (xy)^2)^(3/2)) ∂²z/∂y² = (-2xy) / ((1 - (xy)^2)^(3/2)) ∂²z/∂x∂y = 1 / √(1 - (xy)^2)