Question

Диференціаціальні рівняння: √25-у^2dx=√25-x^2dy

Answer 1

Ответ:

вооаокраьвиеьвтовооаоа

Answer 2

Ответ:

√25-у^2dx=√25-x^2dy ⇒у^2dx=x^2dy  ⇒ ㏑(у^2dx)=㏑(x^2dy)  ⇒

2dx·㏑y=2dy·㏑x ⇒㏑y=(dy/dx)·㏑x ⇒(dy/dx)=㏑y/㏑x

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Це диференціальне рівняння виглядає на дуже просте рівняння відокремлення змінних. Основна мета - відокремити x та y і знайти рішення.

Давайте розглянемо дане диференціальне рівняння:

√(25 - y²)dx = √(25 - x²)dy

Ми бажаємо розділити змінні x та y, тобто перемістити всі x-терміни на один бік, а всі y-терміни на інший бік. Для цього давайте спробуємо виразити dx та dy:

√(25 - y²)dx = √(25 - x²)dy

Для цього розділимо обидві сторони на √(25 - y²) та √(25 - x²):

(dx) / √(25 - x²) = (dy) / √(25 - y²)

Тепер ми маємо розділити змінні та інтегрувати обидві сторони. Інтегрування відбувається наступним чином:

∫(dx / √(25 - x²)) = ∫(dy / √(25 - y²))

Давайте виконаємо ці інтеграли:

Ліва сторона: ∫(dx / √(25 - x²))

Це можна зробити за допомогою підстановки x = 5 * sin(θ). Тоді dx = 5 * cos(θ) dθ. Зараз наш інтеграл виглядає так:

∫(5 * cos(θ) dθ / √(25 - (5 * sin(θ))²))

∫(5 * cos(θ) dθ / √(25 - 25 * sin²(θ)))

5∫(cos(θ) dθ / √(25 * (1 - sin²(θ))))

5∫(cos(θ) dθ / (5 * √(1 - sin²(θ))))

∫(cos(θ) dθ / √(1 - sin²(θ)))

Згідно з тригонометричною інтеграцією, ∫(cos(θ) dθ / √(1 - sin²(θ))) дорівнює арксинусу (arcsin) sin(θ):

arcsin(sin(θ)) + C₁, де C₁ - константа інтегрування.

Права сторона: ∫(dy / √(25 - y²))

Аналогічно, застосуємо підстановку y = 5 * sin(φ). Тоді dy = 5 * cos(φ) dφ. Зараз наш інтеграл виглядає так:

∫(5 * cos(φ) dφ / √(25 - (5 * sin(φ))²))

Аналогічно лівій стороні, отримаємо:

arcsin(sin(φ)) + C₂, де C₂ - константа інтегрування.

Тепер ми маємо два вирази для лівої та правої сторін диференціального рівняння:

arcsin(sin(θ)) + C₁ = arcsin(sin(φ)) + C₂

Зауважте, що обидві сторони містять арксинус від sin(θ) і sin(φ), і насправді це одне й те ж. Тобто:

arcsin(sin(θ)) = arcsin(sin(φ)) + (C₁ - C₂)

Константу C₁ - C₂ ми також можемо позначити як іншу константу C:

arcsin(sin(θ)) = arcsin(sin(φ)) + C

Це рівняння означає, що аргументи arcsin на лівій та правій сторонах рівні. Таким чином, ми отримуємо:

sin(θ) = sin(φ) + C

З цього ми можемо розв'язати вираз для sin(θ):

sin(θ) = sin(φ) + C

Знову зауважте, що C є довільною константою. Таким чином, рівняння має безліч рішень, які можна представити у вигляді:

sin(θ) = sin(φ) + C

Де C - довільна константа. Якщо вам потрібно конкретне числове рішення, вам слід знати значення C та виконати обернені синуси для обох сторін, щоб знайти значення sin(θ) та sin(φ).