Question

1)dy=(3t+2)dt ,при t=0,y=0 2)2dy=(3x^2-5)dx,при x=1,y=-4 3)6x^2dx+2ydy=0,при x=0,y=1 4)3dy/y+dx/x=0,при x=1,y=√2 5)2ydx=xdy,при x=1,y=2 6)4dy/dx=1+x^2,при x=0,y=0

Answer 1

Давненько, лет 40 не решал дифференциальные уравнения, многое забыл, кажется решать нужно примерно так, но кое-что мог и упустить.

dy/dx=2y-3.

dy/(2y-3)=dx,

(1/2)*d(2y-3)/(2y-3)=dx,

d(2y-3)/(2y-3)=2dx

ln(2y-3)+lnC=2x,

ln(C*(2y-3))=2x,

C*(2y-3)=e^(2x),

2y-3=(1/C)*e^(2x),

2y=3+(1/C)*e^(2x),

y=1,5 +(e^(2x))/(2*C).

Answer 2

1) dy = (3t + 2) dt, при t = 0, y = 0

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Для его решения необходимо выразить переменные t и y отдельно и проинтегрировать обе части уравнения.

Начнем с выражения переменных отдельно. Интегрируя обе части уравнения, получим:

∫dy = ∫(3t + 2)dt

Интегрируя, получим:

y = (3/2)t^2 + 2t + C

Теперь, чтобы найти значение постоянной C, воспользуемся начальным условием t = 0, y = 0:

0 = (3/2)(0)^2 + 2(0) + C

0 = C

Таким образом, решение данного уравнения имеет вид:

y = (3/2)t^2 + 2t

2) 2dy = (3x^2 - 5)dx, при x = 1, y = -4

Данное уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными. Для его решения выразим переменные x и y отдельно и проинтегрируем обе части уравнения.

Начнем с выражения переменных отдельно. Интегрируя обе части уравнения, получим:

∫2dy = ∫(3x^2 - 5)dx

Интегрируя, получим:

2y = x^3 - 5x + C

Теперь, чтобы найти значение постоянной C, воспользуемся начальным условием x = 1, y = -4:

2(-4) = (1)^3 - 5(1) + C

-8 = 1 - 5 + C

-8 = -4 + C

C = -8 + 4

C = -4

Таким образом, решение данного уравнения имеет вид:

2y = x^3 - 5x - 4

3) 6x^2dx + 2ydy = 0, при x = 0, y = 1

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Для его решения выразим переменные x и y отдельно и проинтегрируем обе части уравнения.

Начнем с выражения переменных отдельно. Деля обе части уравнения на 2y и заменив y на y(x), получим:

3x^2dx + ydy = 0

Затем интегрируя обе части уравнения, получим:

∫3x^2dx + ∫ydy = 0

Интегрируя, получим:

x^3 + (1/2)y^2 = C

Теперь, чтобы найти значение постоянной C, воспользуемся начальным условием x = 0, y = 1:

(0)^3 + (1/2)(1)^2 = C

0 + (1/2)(1) = C

C = 1/2

Таким образом, решение данного уравнения имеет вид:

x^3 + (1/2)y^2 = 1/2

4) 3dy/y + dx/x = 0, при x = 1, y = √2

Данное уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными. Для его решения выразим переменные x и y отдельно и проинтегрируем обе части уравнения.

Начнем с выражения переменных отдельно. Деля обе части уравнения на y и заменив y на y(x), получим:

3dy/y + dx/x = 0

Затем интегрируя обе части уравнения, получим:

∫3dy/y + ∫dx/x = 0

Интегрируя, получим:

3ln|y| + ln|x| = C

Теперь, чтобы найти значение постоянной C, воспользуемся начальным условием x = 1, y = √2:

3ln|√2| + ln|1| = C

3ln(2^(1/2)) + ln(1) = C

3(1/2)ln(2) + 0 = C

(3/2)ln(2) = C

Таким образом, решение данного уравнения имеет вид:

3ln|y| + ln|x| = (3/2)ln(2)

5) 2ydx = xdy, при x = 1, y = 2

Данное уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными. Для его решения выразим переменные x и y отдельно и проинтегрируем обе части уравнения.

Начнем с выражения переменных отдельно. Деля обе части уравнения на xy, получим:

2dx/x = dy/y

Затем интегрируя обе части уравнения, получим:

∫2dx/x = ∫dy/y

Интегрируя, получим:

2ln|x| = ln|y| + C

Теперь, чтобы найти значение постоянной C, воспользуемся начальным условием x = 1, y = 2:

2ln|1| = ln|2| + C

0 = ln|2| + C

C = -ln|2|

Таким образом, решение данного уравнения имеет вид:

2ln|x| = ln|y| - ln|2|

6) 4dy/dx = 1 + x^2, при x = 0, y = 0

Данное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Для его решения выразим переменные x и y отдельно и проинтегрируем обе части уравнения.

Начнем с выражения переменных отдельно. Разделив обе части уравнения на 1 + x^2 и заменив y на y(x), получим:

(1 + x^2)dy = 4dx

Затем интегрируя обе части уравнения, получим:

∫(1 + x^2)dy = ∫4dx

Интегрируя, получим:

y + (1/3)x^3 = 4x + C

Теперь, чтобы найти значение постоянной C, воспользуемся начальным условием x = 0, y = 0:

0 + (1/3)(0)^3 = 4(0) + C

0 + 0 = 0 + C

C = 0

Таким образом, решение данного уравнения имеет вид:

y + (1/3)x^3 = 4x

Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!