Question

Найдите угол между прямыми: 3x+2y-4=0 и 5x-2y+17=0

Answer 1

Ответ:

55,5°.

Пошаговое объяснение:

Задание.

Найдите угол между прямыми:

3x+2y-4=0 и 5x-2y+17=0

Решение.

1-й способ.  

Физический смысл коэффициента при х состоит в том, что он является арктангенсом угла наклона прямой к оси х.

3x+2y-4=0 ⇒ 2y =4-3х, у = -1,5х+2;

5x-2y+17=0 ⇒ 2y = 5x+17, у = 2,5х +8,5.  

Арктангенс -1,5 равен - 56,3°, следовательно, прямая у = -1,5х+2 образует с осью х угол - 56,3°.

Арктангенс 2,5 равен 68,2° следовательно, прямая у = 2,5х + 8,5 образует с осью х угол 68,2°.

Соответственно больший угол между прямыми у = -1,5х+2 и у =2,5х+8,5  равен: 56,3+68,2= 124,5°, а меньший угол равен: 180-124,5 = 55,5°.

Ответ: 55,5°.

2-й способ.

Прямая 3x+2y-4=0 имеет нормальный вектор n1={A₁, B₁}={3, 2} и свободный член -4 .

Прямая 5x-2y+17=0 имеет нормальный вектор n2={A₂, B₂}={5, −2} и свободный член 17.

Угол между прямыми 3x+2y-4=0 и 5x-2y+17=0 - это угол между векторами n1 и n2.

Скалярное произведение векторов равно:

(n1, n2)=|n1||n2|cosφ, где φ - угол между векторами, откуда  

cosφ = ( А₁А₂+В₁В₂)/(√(A₁²+B₁²))* (√(A₂²+B₂²)) =

= (3*5+2*(-2)) /√(3²+2²))* (√5²+(-2)²)) = 11/(3,6056*5,3852) = 0,5665

φ = arccos (0,5665) = 55,5°.

Ответ: 55,5°.

Answer 2

Для того чтобы найти угол между данными прямыми, нужно сначала определить их угловой коэффициент (наклон) и затем использовать соответствующую формулу для вычисления угла.

Угловой коэффициент прямой задается уравнением вида `y = mx + b`, где `m` - это угловой коэффициент. Уравнения прямых, данного вам в задаче, можно переписать в этой форме.

Для первой прямой 3x + 2y - 4 = 0, сначала выразим `y`:

2y = -3x + 4

y = (-3/2)x + 2

Таким образом, угловой коэффициент первой прямой (m1) равен -3/2.

Для второй прямой 5x - 2y + 17 = 0, выразим `y`:

-2y = -5x - 17

y = (5/2)x + 17/2

Таким образом, угловой коэффициент второй прямой (m2) равен 5/2.

Теперь мы знаем угловые коэффициенты обеих прямых:

m1 = -3/2 m2 = 5/2

Угол между двумя прямыми можно найти, используя следующую формулу:

tan(θ) = |(m2 - m1) / (1 + m1 * m2)|

где θ - это угол между прямыми.

Подставим значения угловых коэффициентов в формулу:

tan(θ) = |(5/2 - (-3/2)) / (1 + (-3/2) * (5/2))|

tan(θ) = |(5/2 + 3/2) / (1 - 15/4)|

tan(θ) = |(8/2) / (4/4 - 15/4)|

tan(θ) = |(4) / (-11/4)|

Теперь найдем значение тангенса угла:

tan(θ) = -4 * (4/11)

tan(θ) = -16/11

Чтобы найти сам угол θ, можно воспользоваться обратной функцией тангенса:

θ = arctan(-16/11)

Используя калькулятор или математическое программное обеспечение, вычислите значение арктангенса:

θ ≈ -55.98 градусов

Таким образом, угол между данными прямыми составляет приблизительно -55.98 градусов. Угол отрицательный, так как прямые пересекаются во втором и четвертом квадрантах на координатной плоскости.