Question

Однородные уравненияy''+4y=0

Answer 1

Ответ:

$y'' + 4y = 0$

замена:

$y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} + 4) = 0 \\ {k}^{2} = - 4 \\ k1 = \sqrt{ - 4} = 2i \\ k2 = - 2i \\ y = C1 \sin(2x ) + C2 \cos(2x)$

Answer 2

Однородные уравнения вида y'' + 4y = 0 являются уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Давайте разберемся, как решить такое уравнение.

Характеристическое уравнение

Для начала, мы рассмотрим характеристическое уравнение, которое получается путем замены y'' на λ^2 и y на e^(rx), где λ и r - неизвестные:

λ^2 + 4 = 0

Нахождение корней характеристического уравнения

Решим это уравнение, найдя его корни. Для этого, мы должны приравнять характеристическое уравнение к нулю:

λ^2 = -4

Так как у нас есть отрицательное число, мы можем использовать мнимую единицу i, чтобы найти корни:

λ = ± 2i

Общее решение

Теперь мы можем использовать найденные корни для построения общего решения уравнения. Общее решение имеет вид:

y(x) = C1 * e^(2ix) + C2 * e^(-2ix)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Разложение на синусы и косинусы

Используя формулу Эйлера, мы можем переписать общее решение в виде суммы синусов и косинусов:

y(x) = C1 * (cos(2x) + i*sin(2x)) + C2 * (cos(2x) - i*sin(2x))

Мы можем упростить это выражение, объединяя члены с мнимой единицей:

y(x) = (C1 + C2) * cos(2x) + (C1 - C2) * i * sin(2x)

Частное решение

Если нам даны начальные условия, мы можем использовать их, чтобы найти частное решение. Например, если нам дано y(0) = a и y'(0) = b, мы можем подставить эти значения в общее решение и решить систему уравнений для C1 и C2.

Пример решения

Допустим, нам даны начальные условия y(0) = 1 и y'(0) = 0. Подставим эти значения в общее решение:

1 = (C1 + C2) * cos(0) + (C1 - C2) * i * sin(0) 0 = (C1 + C2) * -2 * sin(0) + (C1 - C2) * 2i * cos(0)

Учитывая, что cos(0) = 1 и sin(0) = 0, мы можем упростить эти уравнения:

1 = C1 + C2 0 = -2(C1 - C2)i

Отсюда мы можем найти значения C1 и C2:

C1 = 1/2 C2 = 1/2

Таким образом, частное решение для данного примера будет:

y(x) = (1/2) * cos(2x) + (1/2) * i * sin(2x)

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели однородное уравнение y'' + 4y = 0 подробно. Мы нашли корни характеристического уравнения, построили общее решение в виде суммы синусов и косинусов, и также рассмотрели пример нахождения частного решения с использованием начальных условий.