Question

Дан tgα= - 1/3 3П/2<α<2П Найти: cosα-? sinα-? ctgα-? α - это альфа. подробненько.

Answer 1

Ответ:

$\tan( \alpha ) = - \frac{1}{3}$

IV четверть => синус отрицательный, косинус положительный, котангенс отрицательный.

$\cot( \alpha ) = \frac{1}{ \tan( \alpha ) } = \frac{1}{ - \frac{1}{3} } = - 3$

Далее используем формулу:

$1 + { \tan( \alpha ) }^{2} = \frac{1}{ { \cos( \alpha ) }^{2} }$

$\frac{1}{ { \cos( \alpha ) }^{2} } = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9} \\ { \cos( \alpha ) }^{2} = \frac{9}{10} \\ \cos( \alpha ) = \sqrt{ \frac{9}{10} } = \frac{3}{ \sqrt{10} }$

${ \sin( \alpha ) }^{2} = 1 - { \cos( \alpha ) }^{2}$

$\sin( \alpha ) = - \sqrt{1 - { \cos( \alpha ) }^{2} } = - \sqrt{1 - \frac{9}{10} } = - \sqrt{ \frac{1}{10} } = - \frac{1}{ \sqrt{10} }$

Ответ:

$\cos( \alpha ) = \frac{3}{ \sqrt{10} } \\ \sin( \alpha ) = - \frac{1}{ \sqrt{10} } \\ \cot( \alpha ) = - 3$

Answer 2

Дано, что tgα = -1/3 и 3π/2 < α < 2π.

Для начала, найдем sinα и cosα, используя тригонометрическое тождество: tgα = sinα / cosα sinα = tgα * cosα sinα = (-1/3) * cosα

Затем, найдем ctgα: ctgα = 1 / tgα ctgα = 1 / (-1/3) ctgα = -3

Теперь найдем α. Из условия задачи, известно, что 3π/2 < α < 2π. Так как tgα = -1/3, это означает, что α находится в III квадранте, где sinα < 0 и cosα < 0. То есть sinα и cosα являются отрицательными.

Таким образом, sinα = -1/3 * cosα и α находится в III квадранте.

Чтобы найти α, рассмотрим прямоугольный треугольник в III квадранте, смежный с углом α. Известно, что sinα = -1/3 и cosα < 0. Из этого следует, что противоположный катет равен -1, а гипотенуза равна 3.

Используя теорему Пифагора, найдем примыкающий катет: (примыкающий катет)^2 = (гипотенуза)^2 - (противоположный катет)^2 (примыкающий катет)^2 = 3^2 - (-1)^2 (примыкающий катет)^2 = 8 примыкающий катет = √8 примыкающий катет = 2√2

Таким образом, sinα = -1/3 * cosα = -1/3 * 2√2 = -2√2/3 и cosα = -√8/3

Теперь можем найти α. Так как sinα < 0 и cosα < 0, а 3π/2 < α < 2π, то α = 2π + arctg(-1/3). Арктангенс может быть найден, используя формулу: arctg(-1/3) = -arctg(1/3)

Таким образом, α = 2π - arctg(1/3)

В итоге, получаем ответ: cosα = -√8/3 sinα = -2√2/3 ctgα = -3 α = 2π - arctg(1/3)