Question

Дано: точка A(3;0), прямая x =12 и число е=1/2. Необходимо составить уравнение геометрического места точек, отношения расстояний которых к данной точке A(xA,yA) и к данной прямой x = d равняется е=1/2 Определить тип полученной кривой, ее фокусы, эксцентриситет и уравнение асимптот, построить график.

Answer 1

Дано: точка A(3;0), прямая x =12 и число e = 1/2.

Необходимо  составить уравнение геометрического места точек, отношения расстояний  которых к данной точке A(xA,yA) и к данной прямой x = d равняется е=1/2.

На основании условий задания составим уравнения, выражающие заданные расстояния.

Пусть произвольная точка М(х; у) принадлежит искомой кривой.

Тогда МА =√((3 - x)² + y²).

         d(M_d) = 12 - x.

Приравняем эти выражения в заданном соотношении.

2*√((3 - x)² + y²) = 12 - x. Возведём в квадрат обе части.

4(9 - 6x + x² + y²) = 144 - 24x + x²,

36 - 24x + 4x² + 4y² = 144 - 24x + x²,

3x² + 4y² = 108, разделим обе части на 108.

(3x²/108) + (4y²/108) = 1,

(x²/36) + (y²/27) = 1. Получили уравнение эллипса.

(x²/6²) + (y²/(3√3²) = 1.

График и параметры даны во вложении.

Answer 2

Уравнение геометрического места точек

Дано: - Точка A(3,0) - Прямая x = 12 - Число e = 1/2

Необходимо составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых к данной точке A(xA, yA) и к данной прямой x = d равняется e = 1/2.

Для начала, давайте определим расстояние от точки A до данной прямой x = d. В данном случае, прямая x = 12, поэтому расстояние от точки A до прямой будет |3 - 12| = 9.

Теперь, у нас есть два расстояния: расстояние от точки A до точки (xA, yA) и расстояние от точки A до прямой x = 12. Они должны быть в отношении 1:2, то есть:

(расстояние от точки A до точки (xA, yA)) : (расстояние от точки A до прямой x = 12) = 1 : 2

Заменяя расстояния на их значения, получаем:

sqrt((xA - 3)^2 + (yA - 0)^2) : 9 = 1 : 2

Теперь, чтобы получить уравнение геометрического места точек, нужно избавиться от корня. Возводим обе части уравнения в квадрат:

((xA - 3)^2 + (yA - 0)^2) : 81 = 1 : 4

Умножаем обе части уравнения на 81:

(xA - 3)^2 + (yA - 0)^2 = 81/4

Таким образом, уравнение геометрического места точек будет:

(xA - 3)^2 + yA^2 = 81/4

Тип полученной кривой, фокусы, эксцентриситет и уравнение асимптот

Уравнение геометрического места точек (xA - 3)^2 + yA^2 = 81/4 представляет собой уравнение окружности.

Так как уравнение окружности не содержит членов с переменными x и y, фокусы и эксцентриситет не определяются.

Уравнение асимптот не применимо в данном случае, так как окружность не имеет асимптот.

Построение графика

Для построения графика окружности с уравнением (xA - 3)^2 + yA^2 = 81/4, нужно использовать координаты точки A(3,0) в качестве центра окружности и радиус 9/2.

График окружности будет выглядеть следующим образом:


Примечание: График окружности представлен в виде иллюстрации и может отличаться в зависимости от используемого программного обеспечения или инструментов для построения графиков.

Answer 3

Для составления уравнения геометрического места точек, отношение расстояний которых к данной точке A(3,0) и к прямой x=12 равно е = 1/2, начнем с определения расстояния между точкой и прямой.

Расстояние между точкой (x, y) и прямой x = d задается следующим уравнением:

d = |x - d|

В данном случае, прямая x = 12, поэтому d = 12. Теперь мы можем записать уравнение отношения расстояний:

|xA - 12| / |(xA - 3, yA)| = 1/2

Следующим шагом, мы можем избавиться от модулей, разделив обе стороны уравнения на их знаменатели:

2 * |xA - 12| = |(xA - 3, yA)|

Теперь рассмотрим два случая: xA > 12 и xA < 12.

1. Если xA > 12:

Уравнение примет вид:

2 * (xA - 12) = √((xA - 3)^2 + yA^2)

Упростим его:

4 * (xA - 12)^2 = (xA - 3)^2 + yA^2

2. Если xA < 12:

Уравнение примет вид:

2 * (12 - xA) = √((3 - xA)^2 + yA^2)

Упростим его:

4 * (12 - xA)^2 = (3 - xA)^2 + yA^2

Таким образом, у нас есть два уравнения для двух разных диапазонов значений xA. Мы можем объединить их в одно уравнение:

4 * |xA - 12|^2 = |(3 - xA)^2 + yA^2|

Теперь рассмотрим тип полученной кривой.

Это уравнение представляет собой уравнение эллипса. Эллипс - это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фокусов (F1 и F2) постоянна. В данном случае, фокусы будут лежать на оси x в точках (12, 0) и (-12, 0).

Теперь найдем эксцентриситет (e) этого эллипса. Эксцентриситет определяется как e = c/a, где a - полуось большой полуоси, а c - расстояние между фокусами.

В данном случае, расстояние между фокусами c = 24 (2 * 12), а полуось a равна половине мажорной полуоси эллипса. Мажорная полуось a можно найти из уравнения эллипса:

4 * a^2 = b^2

где b - полуось малой полуоси. Заметим, что в данном уравнении b^2 равно выражению (3 - xA)^2 + yA^2.

Таким образом,

4 * a^2 = (3 - xA)^2 + yA^2

a^2 = (3 - xA)^2 + yA^2

a = √((3 - xA)^2 + yA^2)

Теперь можем найти эксцентриситет:

e = c/a = 24 / √((3 - xA)^2 + yA^2)

Теперь у нас есть уравнение геометрического места точек, тип кривой (эллипс), фокусы (F1(12,0) и F2(-12,0)), и эксцентриситет (e).

Чтобы найти уравнение асимптот, давайте рассмотрим пределы этой эллиптической кривой при xA, yA -> ±∞. В этом случае, уравнение геометрического места упрощается к:

4 * |xA - 12|^2 = |(3 - xA)^2 + yA^2|

При xA, yA -> ±∞, мы можем игнорировать константы и выразить это уравнение как:

4 * |xA - 12|^2 ≈ |xA^2 + yA^2|

Теперь давайте выразим xA^2 + yA^2 в виде функции xA:

xA^2 + yA^2 = (xA^2 + yA^2) / xA^2 * xA^2

Теперь мы видим, что правая сторона асимптотически приближается к 4 при xA, yA -> ±∞, и уравнение асимптот примет вид:

4 * |xA - 12|^2 = 4

Сократим 4 с обеих сторон:

|xA - 12|^2 = 1

Теперь возведем обе стороны в квадратный корень:

|xA - 12| = 1

Это уравнение представляет собой две прямые, параллельные прямой x = 12 и отстоящие от нее на 1 единицу в обоих направлениях.

Итак, у нас есть уравнение геометрического места, тип кривой (эллипс), фокусы (F1(12,0) и F2(-12,0)), эксцентриситет (e), и уравнение асимптот (две параллель