Question

вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги длины которых относятся как 6: 11: 19 найдите радиус окружности если меньшая из сторон равна 15​

Answer 1

Ответ:

15

Пошаговое объяснение:

Пусть х - коэффициент пропорциональности. Тогда

∪АВ = 6х,  ∪ВС = 11х,  ∪АС = 19х.

Полная окружность составляет 360°:

6x + 11x + 19x = 360°

36x = 360°

x = 10°

∪АВ = 60°,  ∪ВС = 110°,  ∪АС = 190°.

Углы треугольника вписанные, поэтому они равны половине соответствующих дуг:

∠АСВ = 1/2 ∪АВ = 30°

∠ВАС = 1/2 ∪ВС = 55°

∠АВС = 1/2 ∪АС = 95°

В треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона,

АВ = 15.

По следствию из теоремы синусов:

$\dfrac{AB}{\sin C}=2R$

$R=\dfrac{AB}{2\sin C}=\dfrac{15}{2\cdot \sin 30^\circ}=\dfrac{15}{2\cdot \frac{1}{2}}=15$

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойство треугольников, окружностей и пропорций.

1. Свойство окружности и дуги: Пусть \( R \) - радиус описанной окружности, а \( a \), \( b \), \( c \) - длины дуг, соответствующих вершинам треугольника. Тогда справедливо, что: \[ a + b + c = 360^\circ \]

2. Свойство отношения длин дуг и радиуса окружности: По условию задачи, отношение длин дуг \( a : b : c = 6 : 11 : 19 \). Таким образом, можно записать: \[ a = \frac{6}{6 + 11 + 19} \times 360^\circ \] \[ b = \frac{11}{6 + 11 + 19} \times 360^\circ \] \[ c = \frac{19}{6 + 11 + 19} \times 360^\circ \]

3. Связь дуг с углами треугольника: Так как сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), можем выразить длины дуг через углы: \[ a = 2\pi \times \frac{2\alpha}{360^\circ} \times R \] \[ b = 2\pi \times \frac{2\beta}{360^\circ} \times R \] \[ c = 2\pi \times \frac{2\gamma}{360^\circ} \times R \]

Где \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) - углы треугольника.

Теперь у нас есть два выражения для каждой дуги: через отношение и через углы треугольника. Поскольку дуги одни и те же, мы можем приравнять эти выражения и решить уравнения относительно \( R \).

\[ \frac{6}{6 + 11 + 19} \times 360^\circ = 2\pi \times \frac{2\alpha}{360^\circ} \times R \] \[ \frac{11}{6 + 11 + 19} \times 360^\circ = 2\pi \times \frac{2\beta}{360^\circ} \times R \] \[ \frac{19}{6 + 11 + 19} \times 360^\circ = 2\pi \times \frac{2\gamma}{360^\circ} \times R \]

\[ R = \frac{\frac{6}{36} \times 360^\circ}{2\pi \times \frac{2\alpha}{360^\circ}} \] \[ R = \frac{\frac{11}{36} \times 360^\circ}{2\pi \times \frac{2\beta}{360^\circ}} \] \[ R = \frac{\frac{19}{36} \times 360^\circ}{2\pi \times \frac{2\gamma}{360^\circ}} \]

Решим эти уравнения для \( R \) при условии, что одна из сторон треугольника равна 15. Допустим, что \( \alpha \) - угол, противолежащий этой стороне. Тогда \( \sin(\alpha) = \frac{15}{R} \).

Подставим значения в уравнения и решим:

\[ R = \frac{\frac{6}{36} \times 360^\circ}{2\pi \times \frac{2\arcsin(\frac{15}{R})}{360^\circ}} \] \[ R = \frac{\frac{11}{36} \times 360^\circ}{2\pi \times \frac{2\arcsin(\frac{15}{R})}{360^\circ}} \] \[ R = \frac{\frac{19}{36} \times 360^\circ}{2\pi \times \frac{2\arcsin(\frac{15}{R})}{360^\circ}} \]

Это уравнение нелинейное и требует численного решения. Используйте калькулятор или программное обеспечение для математических вычислений, чтобы найти приближенное значение радиуса \( R \).